Flusso del rotore
Ciao a tutti,
Ho un problema sul calcolo del flusso del rotore. L'esercizio dice
Sia $F(x,y,z)=(x^2,x+y,x-z)$ un campo vettoriale e sia \( V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2\leq 1,\ -4\leq z\leq x+y\} \) , $S$ la frontiera di $V$ e \( T=S\cap\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z\geq -3\} \)
Devo calcolare il flusso del rotore di $F$ attraverso $T$.
So che devo usare il teorema di Stokes che mi dice
\( \displaystyle\int_T rot(F)\cdot n_e \ dS=\int_{\partial_+T}F \)
dove con \( \partial_+T \) indico il bordo di $T$ ossia, in questo caso, la circonferenza ottenuta come intersezione del piano $z=-3$ e il cilindro $x^2+y^2=1$.
Il mio problema, oltre a fare i conti, è calcolare l'orientamento del bordo di questa circonferenza. Per capirlo devo parametrizzare la superficie e vedere che orientamento è indotto dalla parametrizzazione che ho scelto? Non capisco neanche se mi serve parametrizzare la superficie oppure posso usare una parametrizzazione a caso della circonferenza che delinea il bordo di T. Help
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Ho un problema sul calcolo del flusso del rotore. L'esercizio dice
Sia $F(x,y,z)=(x^2,x+y,x-z)$ un campo vettoriale e sia \( V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2\leq 1,\ -4\leq z\leq x+y\} \) , $S$ la frontiera di $V$ e \( T=S\cap\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z\geq -3\} \)
Devo calcolare il flusso del rotore di $F$ attraverso $T$.
So che devo usare il teorema di Stokes che mi dice
\( \displaystyle\int_T rot(F)\cdot n_e \ dS=\int_{\partial_+T}F \)
dove con \( \partial_+T \) indico il bordo di $T$ ossia, in questo caso, la circonferenza ottenuta come intersezione del piano $z=-3$ e il cilindro $x^2+y^2=1$.
Il mio problema, oltre a fare i conti, è calcolare l'orientamento del bordo di questa circonferenza. Per capirlo devo parametrizzare la superficie e vedere che orientamento è indotto dalla parametrizzazione che ho scelto? Non capisco neanche se mi serve parametrizzare la superficie oppure posso usare una parametrizzazione a caso della circonferenza che delinea il bordo di T. Help
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Risposte
Se ho già fissato un'orientazione di $T$ tramite il vettore normale $n_e$, un modo semplice per stabilire la corrispondente orientazione positiva del bordo è questo: preso un $P\in\partial T$ a piacere, scelgo $v_1$ e $v_2$ vettori tangenti a $T$ in $P$ non nulli in modo che $v_1$ sia tangente a $\partial T$, $v_2$ punti "verso l'interno di $T$" e la terna $(v_1,v_2,n_e)$ sia destrorsa (cioè $n_e$ deve essere uguale a $v_1\wedge v_2$ moltiplicato per uno scalare positivo). Allora $v_1$ mi dà l'orientazione positiva di $\partial T$.
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