Flusso del rotore
Sia $\Sigma={(x,y,z) in RR^3: z^2=1+x^2+y^2, x^2+y^2+z^2<=4, z>=0}$
orientata in modo che la terza componente del versore normale sia positiva.
Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale $V(x,y,z)=(x^2y, z-y, x+z)$ attraverso $\Sigma$, usando sia la definizione che il teorema di Stokes
Qualcosa sicuramente non mi è chiara, perchè applicando i due metodi vengono due risultati diversi...quale sarà quello giusto?
I metodo: per definizione
Mi parametrizzo $\Sigma$:
$r:=\{(x=\rhocos(\theta)),(y=\rhosen(\theta)),(z=1+p^2):}$ $\rho in [0,2], \theta in [0,2pi]$
$r_\rho= \{(x= cos(\theta)), (y=sen(\theta)), (z=2\rho):}$
$r_\theta=\{(x=-\rhosin(\theta)), (y=\rhocos(\theta)), (z=0):}$
$r_(\rho) xx r_(\theta) = (2\rho^2cos(\theta), -2\rho^2sin(\theta), \rho)$
$rot(V)=(1,1,x^2)$
$int int_\Sigma d\sigma = int_0^(2) \rho^2 d\rho int_0^(2pi) 2cos(\theta)-2sin(\theta)+\rhocos(\theta) d\theta= 0$
II metodo: Stokes
La parametrizzazione del bordo è
$\gamma= \{(x(\theta)=sqrt(3/2)*cos(\theta)), (y(\theta)=sqrt(3/2)*sin(\theta)), (z(\theta)=sqrt(5/2)):}$ $\theta in [0,2pi]$
$\gamma'=\{(x(\theta)=-sqrt(3/2)+sen(\theta)), (y(\theta)=sqrt(3/2)cos(\theta)), (z(\theta)=0):}$
Applico quindi il teo di Stokes ed ottengo:
$int_0^(2pi) 3/2*sqrt(3/2)cos^2(\theta)sin(\theta)(-sqrt(3/2))sin(\theta)+(sqrt(5/2)-sqrt(3/2)sin(\theta))sqrt(3/2)cos(\theta) d\theta=
int_0^(2pi) -9/4 cos^2(\theta)sin^2(\theta)+5/2*sqrt(3/2)cos(\theta)-3/2*sin(\theta)cos(\theta) d\theta=....=-9/16 pi$
Quasi sicuramente l'errore sta nella parametrizzazione...mi aiutate per favore? Grazie mille
orientata in modo che la terza componente del versore normale sia positiva.
Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale $V(x,y,z)=(x^2y, z-y, x+z)$ attraverso $\Sigma$, usando sia la definizione che il teorema di Stokes
Qualcosa sicuramente non mi è chiara, perchè applicando i due metodi vengono due risultati diversi...quale sarà quello giusto?
I metodo: per definizione
Mi parametrizzo $\Sigma$:
$r:=\{(x=\rhocos(\theta)),(y=\rhosen(\theta)),(z=1+p^2):}$ $\rho in [0,2], \theta in [0,2pi]$
$r_\rho= \{(x= cos(\theta)), (y=sen(\theta)), (z=2\rho):}$
$r_\theta=\{(x=-\rhosin(\theta)), (y=\rhocos(\theta)), (z=0):}$
$r_(\rho) xx r_(\theta) = (2\rho^2cos(\theta), -2\rho^2sin(\theta), \rho)$
$rot(V)=(1,1,x^2)$
$int int_\Sigma
II metodo: Stokes
La parametrizzazione del bordo è
$\gamma= \{(x(\theta)=sqrt(3/2)*cos(\theta)), (y(\theta)=sqrt(3/2)*sin(\theta)), (z(\theta)=sqrt(5/2)):}$ $\theta in [0,2pi]$
$\gamma'=\{(x(\theta)=-sqrt(3/2)+sen(\theta)), (y(\theta)=sqrt(3/2)cos(\theta)), (z(\theta)=0):}$
Applico quindi il teo di Stokes ed ottengo:
$int_0^(2pi) 3/2*sqrt(3/2)cos^2(\theta)sin(\theta)(-sqrt(3/2))sin(\theta)+(sqrt(5/2)-sqrt(3/2)sin(\theta))sqrt(3/2)cos(\theta) d\theta=
int_0^(2pi) -9/4 cos^2(\theta)sin^2(\theta)+5/2*sqrt(3/2)cos(\theta)-3/2*sin(\theta)cos(\theta) d\theta=....=-9/16 pi$
Quasi sicuramente l'errore sta nella parametrizzazione...mi aiutate per favore? Grazie mille
Risposte
La superficie su cui calcolare il flusso è la falda superiore dell'iperboloide a due falde $z^2=1+x^2+y^2$ contenuto all'interno della semisfera superiore di centro l'origine e raggio $2$. Passando a coordinate cilindriche, come fai, osservi che deve essere
$$\rho^2+z^2\le 4,\qquad z\ge 0$$
per cui, data la simmetria circolare attorno all'asse $z$, sicuramente $\theta\in[0,2\pi]$. Tuttavia quello a cui non fai attenzione è quale sia la superficie: essa può essere scritta come $z^2=1+\rho^2$ e dal momento che $\rho\ge 0$ per definizione, si ha $z\ge 1$ (infatti il punto $(0,0,1)$ è il vertice del paraboloide). Pertanto, le condizioni per determinare come variano $z,\ \rho$ sono date da
$$\rho^2+z^2\le 4,\qquad z\ge 1,\qquad z^2=1+\rho^2$$
Se disegni queste tre curve (circonferenza di centro l'origine e raggio 2, retta perpendicolare all'asse $z$ e passante per $z=1$, iperbole equilatera con asse di simmetria coincidente con l'asse $z$ e vertice in $(0,1)$) nel piano $\rho O z$, puoi osservare che esse si incontrano nel punto $(\sqrt{3/2},1)$ e pertanto se ne deduce che $\rho\in[0,\sqrt{3/2}]$ (dal momento che dobbiamo considerare la parte interna alla circonferenza ma superiore alla retta). Di conseguenza la parametrizzazione corretta risulta
$$r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,1+u^2),\qquad u\in[0,\sqrt{3/2}],\ v\in[0,2\pi]$$
Il vettore normale risulta
$$r_u\wedge r_v=(-2u^2\cos v,-2u^2\sin v,u)$$
e il rotore è
$$\nabla\wedge V=(-1,-1,-x^2)$$
(perdonami, ma come li fai i prodotti vettoriali?), per cui il flusso è dato da
$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{3/2}} \left[2u^2\cos v+2u^2\sin v-u^3\cos^2 v\right]\ du\ dv$$
I primi due termini, integrati rispetto a $v$ danno zero, per cui si riduce tutto a
$$-\int_0^{2\pi}\cos^2 v\ dv\cdot\int_0^{\sqrt{3/2}} u^3\ du=-\frac{9\pi}{16}$$
Il secondo calcolo mi pare corretto.
$$\rho^2+z^2\le 4,\qquad z\ge 0$$
per cui, data la simmetria circolare attorno all'asse $z$, sicuramente $\theta\in[0,2\pi]$. Tuttavia quello a cui non fai attenzione è quale sia la superficie: essa può essere scritta come $z^2=1+\rho^2$ e dal momento che $\rho\ge 0$ per definizione, si ha $z\ge 1$ (infatti il punto $(0,0,1)$ è il vertice del paraboloide). Pertanto, le condizioni per determinare come variano $z,\ \rho$ sono date da
$$\rho^2+z^2\le 4,\qquad z\ge 1,\qquad z^2=1+\rho^2$$
Se disegni queste tre curve (circonferenza di centro l'origine e raggio 2, retta perpendicolare all'asse $z$ e passante per $z=1$, iperbole equilatera con asse di simmetria coincidente con l'asse $z$ e vertice in $(0,1)$) nel piano $\rho O z$, puoi osservare che esse si incontrano nel punto $(\sqrt{3/2},1)$ e pertanto se ne deduce che $\rho\in[0,\sqrt{3/2}]$ (dal momento che dobbiamo considerare la parte interna alla circonferenza ma superiore alla retta). Di conseguenza la parametrizzazione corretta risulta
$$r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,1+u^2),\qquad u\in[0,\sqrt{3/2}],\ v\in[0,2\pi]$$
Il vettore normale risulta
$$r_u\wedge r_v=(-2u^2\cos v,-2u^2\sin v,u)$$
e il rotore è
$$\nabla\wedge V=(-1,-1,-x^2)$$
(perdonami, ma come li fai i prodotti vettoriali?), per cui il flusso è dato da
$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{3/2}} \left[2u^2\cos v+2u^2\sin v-u^3\cos^2 v\right]\ du\ dv$$
I primi due termini, integrati rispetto a $v$ danno zero, per cui si riduce tutto a
$$-\int_0^{2\pi}\cos^2 v\ dv\cdot\int_0^{\sqrt{3/2}} u^3\ du=-\frac{9\pi}{16}$$
Il secondo calcolo mi pare corretto.
Grazie @Ciampax...adesso si che ho capito!! E grazie anche per la pazienza...in questi giorni non so dove ho la testa...
Scusate sto rivedendo questo esercizio, ma non capisco più perche avevamo parametrizzato così la superficie...non mi torna la terza componente di $r(u,v)$..perchè è $1+u^2$? Non dovrebbe essere $sqrt(1+u^2)$? Grazie mille!!!
Sì, giusto, ci vuole una radice. Ma il procedimento è uguale.
Si certo...il procedimento è quello! Anche se poi mi danno due risultati diversi i due metodi. Sicuro farò qualche errore di calcolo. Grazie ancora 
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