Flusso campo vettoriale

etta.nico
devo calcolare il flusso in un campo vettoriale ma non riesco a capire bene la formula.
Ad esempio nel caso specifico:
Sia $\phi$ la varietà parametrica di $]alpha,beta[ x ]0,h[ -> RR^3$ definita da $\phi(u,v) = (r* cos u,r* sin u, v)$ $AA(u,v) in ]\alpha,\beta[ x ]0,h[$ e sia $F$ il campo vettoriale in $RR^3$ definito da $F(x,y,z)= (x,y,z)$.
Calcolare il flusso $$.
Qualcuno mi sa aiutare?

Risposte
dissonance
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/r ... /index.xht

Qui è spiegato molto bene. Leggi il paragrafo "Surface integrals of vector fields".

etta.nico
grazie. penso di aver capito:
quindi nel mio caso:
$ = int_(0)^(h){int_(alpha)^(beta)((r*cos u, r* sin u,v) * ((r*cos u, r* sin u,0)) du} dv =$
$ int_(0)^(h)[r^2 *u]_(alpha)^(beta) dv = int_(0)^(h)(r^2* (alpha -beta) ) dv= r^2* (alpha -beta)* h $

è giusto cosi?

dissonance
Va bene.

etta.nico
molte grazie.
e invece in questo caso come faccio:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $(3x +y,x-y,z^3)$ attraverso la sfera unitaria orientata dal suo campo dei versori normali esterni.

Allora ho $F(x,y,z) = (3x +y,x-y,z^3)$ . Ma devo calcolare $phi$ della sfera.
Se fossimo in un piano e mi dessero un cerchio, direi $phi(r,alpha) = (r*cos (alpha), r* sin (alpha))$. Ma in 3 dimensoni non so cosa fare..

dissonance
Più o meno la stessa cosa, se ci pensi. Invece delle coordinate polari piane (quando scrivi quella parametrizzazione della circonferenza, sostanzialmente stai usando delle coordinate polari), devi pensare alle coordinate sferiche. Guarda qua:

http://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate ... ma_sferico

Pensa a cosa ottieni se blocchi \(\rho\) su \(1\).

etta.nico
Quindi $phi(rho, delta, xi) = (rho*sin (delta)*cos (xi), rho*sin(delta) *sin(xi), rho*cos (delta))$
Allora $< F,phi> = int int int(F(phi(rho, delta, xi))* (d(phi)/(d(rho)) xx d(phi)/(d(delta)) xx d(phi)/(d(xi)))) d(xi)d(delta)d(rho)$
Ma poi il prodotto vettoriale delle tre derivate parziali mi viene zero. Ho sbagliato qualcosa?

dissonance
Sicuramente qualcosa non va. Una sfera è una varietà a due dimensioni, com'è che tu ti ritrovi tre parametri?

etta.nico
forse ho sbagliato perchè dovevo sostituire subito $rho$ con $1$. è cosi?
Quindi $phi( delta, xi) = (sin (delta)*cos (xi), sin(delta) *sin(xi), cos (delta))$
Allora $< F,phi> = int int(F(phi( delta, xi))* ( d(phi)/(d(delta)) xx d(phi)/(d(xi)))) d(xi)d(delta)$
il prodotto vettoriale mi viene $(sin(delta)*(sin(delta)*cos(xi) -cos(delta)*sin(xi)),sin(delta)*(sin(delta)*sin(xi) + cos(delta)*cos(xi)),cos(delta)*sin(delta))$ ma poi quando devo moltiplicarlo con $F(phi( delta, xi))$ non si semplifica molto.. sbaglio qualcosa?

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