Flusso campo vettoriale
devo calcolare il flusso in un campo vettoriale ma non riesco a capire bene la formula.
Ad esempio nel caso specifico:
Sia $\phi$ la varietà parametrica di $]alpha,beta[ x ]0,h[ -> RR^3$ definita da $\phi(u,v) = (r* cos u,r* sin u, v)$ $AA(u,v) in ]\alpha,\beta[ x ]0,h[$ e sia $F$ il campo vettoriale in $RR^3$ definito da $F(x,y,z)= (x,y,z)$.
Calcolare il flusso $$.
Qualcuno mi sa aiutare?
Ad esempio nel caso specifico:
Sia $\phi$ la varietà parametrica di $]alpha,beta[ x ]0,h[ -> RR^3$ definita da $\phi(u,v) = (r* cos u,r* sin u, v)$ $AA(u,v) in ]\alpha,\beta[ x ]0,h[$ e sia $F$ il campo vettoriale in $RR^3$ definito da $F(x,y,z)= (x,y,z)$.
Calcolare il flusso $
Qualcuno mi sa aiutare?
Risposte
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/r ... /index.xht
Qui è spiegato molto bene. Leggi il paragrafo "Surface integrals of vector fields".
Qui è spiegato molto bene. Leggi il paragrafo "Surface integrals of vector fields".
grazie. penso di aver capito:
quindi nel mio caso:
$ = int_(0)^(h){int_(alpha)^(beta)((r*cos u, r* sin u,v) * ((r*cos u, r* sin u,0)) du} dv =$
$ int_(0)^(h)[r^2 *u]_(alpha)^(beta) dv = int_(0)^(h)(r^2* (alpha -beta) ) dv= r^2* (alpha -beta)* h $
è giusto cosi?
quindi nel mio caso:
$
$ int_(0)^(h)[r^2 *u]_(alpha)^(beta) dv = int_(0)^(h)(r^2* (alpha -beta) ) dv= r^2* (alpha -beta)* h $
è giusto cosi?
Va bene.
molte grazie.
e invece in questo caso come faccio:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $(3x +y,x-y,z^3)$ attraverso la sfera unitaria orientata dal suo campo dei versori normali esterni.
Allora ho $F(x,y,z) = (3x +y,x-y,z^3)$ . Ma devo calcolare $phi$ della sfera.
Se fossimo in un piano e mi dessero un cerchio, direi $phi(r,alpha) = (r*cos (alpha), r* sin (alpha))$. Ma in 3 dimensoni non so cosa fare..
e invece in questo caso come faccio:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $(3x +y,x-y,z^3)$ attraverso la sfera unitaria orientata dal suo campo dei versori normali esterni.
Allora ho $F(x,y,z) = (3x +y,x-y,z^3)$ . Ma devo calcolare $phi$ della sfera.
Se fossimo in un piano e mi dessero un cerchio, direi $phi(r,alpha) = (r*cos (alpha), r* sin (alpha))$. Ma in 3 dimensoni non so cosa fare..
Più o meno la stessa cosa, se ci pensi. Invece delle coordinate polari piane (quando scrivi quella parametrizzazione della circonferenza, sostanzialmente stai usando delle coordinate polari), devi pensare alle coordinate sferiche. Guarda qua:
http://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate ... ma_sferico
Pensa a cosa ottieni se blocchi \(\rho\) su \(1\).
http://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate ... ma_sferico
Pensa a cosa ottieni se blocchi \(\rho\) su \(1\).
Quindi $phi(rho, delta, xi) = (rho*sin (delta)*cos (xi), rho*sin(delta) *sin(xi), rho*cos (delta))$
Allora $< F,phi> = int int int(F(phi(rho, delta, xi))* (d(phi)/(d(rho)) xx d(phi)/(d(delta)) xx d(phi)/(d(xi)))) d(xi)d(delta)d(rho)$
Ma poi il prodotto vettoriale delle tre derivate parziali mi viene zero. Ho sbagliato qualcosa?
Allora $< F,phi> = int int int(F(phi(rho, delta, xi))* (d(phi)/(d(rho)) xx d(phi)/(d(delta)) xx d(phi)/(d(xi)))) d(xi)d(delta)d(rho)$
Ma poi il prodotto vettoriale delle tre derivate parziali mi viene zero. Ho sbagliato qualcosa?
Sicuramente qualcosa non va. Una sfera è una varietà a due dimensioni, com'è che tu ti ritrovi tre parametri?
forse ho sbagliato perchè dovevo sostituire subito $rho$ con $1$. è cosi?
Quindi $phi( delta, xi) = (sin (delta)*cos (xi), sin(delta) *sin(xi), cos (delta))$
Allora $< F,phi> = int int(F(phi( delta, xi))* ( d(phi)/(d(delta)) xx d(phi)/(d(xi)))) d(xi)d(delta)$
il prodotto vettoriale mi viene $(sin(delta)*(sin(delta)*cos(xi) -cos(delta)*sin(xi)),sin(delta)*(sin(delta)*sin(xi) + cos(delta)*cos(xi)),cos(delta)*sin(delta))$ ma poi quando devo moltiplicarlo con $F(phi( delta, xi))$ non si semplifica molto.. sbaglio qualcosa?
Quindi $phi( delta, xi) = (sin (delta)*cos (xi), sin(delta) *sin(xi), cos (delta))$
Allora $< F,phi> = int int(F(phi( delta, xi))* ( d(phi)/(d(delta)) xx d(phi)/(d(xi)))) d(xi)d(delta)$
il prodotto vettoriale mi viene $(sin(delta)*(sin(delta)*cos(xi) -cos(delta)*sin(xi)),sin(delta)*(sin(delta)*sin(xi) + cos(delta)*cos(xi)),cos(delta)*sin(delta))$ ma poi quando devo moltiplicarlo con $F(phi( delta, xi))$ non si semplifica molto.. sbaglio qualcosa?