Flusso campo vettoriale
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x,y,z)=(xy,3xy,2xz)$ attraverso la porzione di paraboloide $z=x^2+y^2-4$ che sta al di sotto del piano $z=0$, essendo la normale alla superficie orientata in modo da avere la terza componente positiva
Allora la linea di risoluzione generale che avevo pensato di attuare era quella di parametrizzare la mia superficie passando a coordinate cilindriche poi mi calcolo le componenti del vettore normale facendo i determinanti e poi andrò a risolvere l'integrale doppio.
Il mio dubbio è però questo quando vado a parametrizzare in cordinate cilindriche che valore assumerà $z$?
${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta),(z=0):}$ oppure ${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta),(z=rho^2-4):}$
in entrambi i casi avrò che $0<=rho<=2$ ; $0<=theta<=2pi$
grazie per la comprensione
Allora la linea di risoluzione generale che avevo pensato di attuare era quella di parametrizzare la mia superficie passando a coordinate cilindriche poi mi calcolo le componenti del vettore normale facendo i determinanti e poi andrò a risolvere l'integrale doppio.
Il mio dubbio è però questo quando vado a parametrizzare in cordinate cilindriche che valore assumerà $z$?
${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta),(z=0):}$ oppure ${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta),(z=rho^2-4):}$
in entrambi i casi avrò che $0<=rho<=2$ ; $0<=theta<=2pi$
grazie per la comprensione
Risposte
La seconda, chiaramente; la prima ti descrive un disco nel piano \(xy\), non un paraboloide.
posto la risoluzione perche sono in dubbio su una cosa
considerando che la parametrizzazione è ${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta),(z=rho^2-4):}$
con $0<=rho<=2$ e $0<=theta<=2pi$
mi sono calcolato le componenti del vettore normale
$L=|(sintheta,2rho),(rhocostheta,0)|=-2rho^2costheta$
$M=|(2rho,costheta),(0,-rhosintheta)|=-2rho2sintheta$
$N=|(costheta,sintheta),(-rhosintheta,rhocostheta)|=rho$
ora dunque ottengo il seguente integrale doppio
$int int -rho^4sinthetacos^2theta-6rho^4sin^2thetacostheta+2rho^3costheta(rho^2-4)$
ed essendo $0<=theta<=2pi$ siccome risolvendo mi rimangono seni e coseni mi risulta che tale integrale faccia 0
la mia domanda è ora questa ma la limitazione che mi mette lesercizo ovvero la porzione di paraboloide che sta al di sotto del piano $z=0$ su cosa influisce?
inoltre altro dubbio il fatto che mi indicano che la normale della terza componente sia positiva significa che siccome N mi è venuta positiva non devo cambiare i segni delle componenti del vettore normale?
considerando che la parametrizzazione è ${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta),(z=rho^2-4):}$
con $0<=rho<=2$ e $0<=theta<=2pi$
mi sono calcolato le componenti del vettore normale
$L=|(sintheta,2rho),(rhocostheta,0)|=-2rho^2costheta$
$M=|(2rho,costheta),(0,-rhosintheta)|=-2rho2sintheta$
$N=|(costheta,sintheta),(-rhosintheta,rhocostheta)|=rho$
ora dunque ottengo il seguente integrale doppio
$int int -rho^4sinthetacos^2theta-6rho^4sin^2thetacostheta+2rho^3costheta(rho^2-4)$
ed essendo $0<=theta<=2pi$ siccome risolvendo mi rimangono seni e coseni mi risulta che tale integrale faccia 0
la mia domanda è ora questa ma la limitazione che mi mette lesercizo ovvero la porzione di paraboloide che sta al di sotto del piano $z=0$ su cosa influisce?
inoltre altro dubbio il fatto che mi indicano che la normale della terza componente sia positiva significa che siccome N mi è venuta positiva non devo cambiare i segni delle componenti del vettore normale?
Non ho controllato nessun conto. Comunque, la limitazione su z la hai già usata, nella parametrizzazione del paraboloide. E quanto al vettore normale, non capisco davvero questa domanda. Il testo ti chiede che sia positivo, a te è venuto positivo ma sei ancora insicuro? Perché tanta insicurezza?
no dico nel caso mi avesse detto orientato in modo da avere la terza componente negativa...avrei dovuto cambiare i segni delle componenti?
per quanto riguarda la limitazione ho capito mi era sfuggito
per quanto riguarda la limitazione ho capito mi era sfuggito
"lepre561":
no dico nel caso mi avesse detto orientato in modo da avere la terza componente negativa...avrei dovuto cambiare i segni delle componenti?
Certamente, questo è ovvio. Lo sapevi benissimo anche da solo. Come ti ho già detto altre volte, forza, sii più sicuro di te. Una persona insicura si sconfigge da sola.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo