Flusso attraverso un cilindro svolto con divergenza.
Salve a tutti! Ho un problema con questo esercizio...
Calcolare il flusso di $F=x^2i+y^2y+z^2k$ attraverso $E={x^2+y^2=1; 0<=z<=1}$
Io ho seguito questo procedimento, ho svolto l'integrale usando il teorema della divergenza, integrando per fili l'integrale mi viene $\pi$.
Ora so che devo togliere i due flusso attraverso le basi, i "coperchi", del cilindro, ecco qui mi blocco in quanto una volta parametrizzata la base superiore come $X=[rcost; rsent; 1]$, non capisco se, una volta calcolato $F*N$, devo moltiplicare per r considerandolo come determinante della Jacobiana, oppure no. Potreste aiutarmi? Grazie.
Calcolare il flusso di $F=x^2i+y^2y+z^2k$ attraverso $E={x^2+y^2=1; 0<=z<=1}$
Io ho seguito questo procedimento, ho svolto l'integrale usando il teorema della divergenza, integrando per fili l'integrale mi viene $\pi$.
Ora so che devo togliere i due flusso attraverso le basi, i "coperchi", del cilindro, ecco qui mi blocco in quanto una volta parametrizzata la base superiore come $X=[rcost; rsent; 1]$, non capisco se, una volta calcolato $F*N$, devo moltiplicare per r considerandolo come determinante della Jacobiana, oppure no. Potreste aiutarmi? Grazie.
Risposte
Ciao,
come hai detto tu il flusso attraverso il solido cilindro è $pi$. Ma a noi serve la superficie cilindrica, quindi dobbiamo sottrarre i due cerchi di base.
Cerchio A.
Il cerchio A è quello che si trova sul piano $z=0$. Dunque $A={(x,y) inmathbb{R^2}| z=0; x^2+y^2<=1} $
Parametrizziamo questa superficie come $ sigma_A=(x,y,0) $ e troviamone il vettore normale uscente. (In questo caso orientato verso il basso)
$ ul(N_A)(x,y )=( ( ul(i), ul(j), ul(k)),( 1, 0, 0),( 0, 1, 0) ) =(0;0;-1) $
Adesso $ ul(F)(sigma_A(x,y))=(x^2;y^2;0) $ e dunque $ ul(F)(sigma_A(x,y))\cdot ul(N_A)(x,y)=0 $ quindi $ Phi_A=0 $
Cerchio B
Il cerchio B è quello che si trova sul piano $z=1$. Dunque $B={(x,y) inmathbb{R^2}| z=1; x^2+y^2<=1} $
Parametrizziamo questa superficie come $ sigma_B=(x,y,1) $ e troviamone il vettore normale uscente. (In questo caso orientato verso l'alto)
$ ul(N_B)(x,y )=( ( ul(i), ul(j), ul(k)),( 1, 0, 0),( 0, 1, 0) ) =(0;0;1) $
$ ul(F)(sigma_B(x,y))=(x^2;y^2;1) $ e dunque $ ul(F)(sigma_B(x,y))\cdot ul(N_B)(x,y)=1 $
Dunque $ Phi_B=intint_Ddxdy $ dove $D={(x,y) inmathbb{R^2}|x^2+y^2<=1$
Passando a coordinate polari otteniamo il nuovo dominio $Omega={(rho,theta) inmathbb{R^2}|0<=rho<=1;0<=theta<=2pi}$ ,la funzione $f(rho,theta)=1$ e lo Jacobiano della trasformazione $rho$
Quindi $ Phi_B=int_0^1rho drhoint_0^(2pi)d theta=pi $
In conclusione $ Phi_C=Phi_(SC)-Phi_A-Phi_B=pi-0-pi=0 $ dove $Phi_C$ è il flusso attraverso la superficie cilindrica e $Phi_(SC)$ è il flusso attraverso il solido cilindro.
Ciao ciao
come hai detto tu il flusso attraverso il solido cilindro è $pi$. Ma a noi serve la superficie cilindrica, quindi dobbiamo sottrarre i due cerchi di base.
Cerchio A.
Il cerchio A è quello che si trova sul piano $z=0$. Dunque $A={(x,y) inmathbb{R^2}| z=0; x^2+y^2<=1} $
Parametrizziamo questa superficie come $ sigma_A=(x,y,0) $ e troviamone il vettore normale uscente. (In questo caso orientato verso il basso)
$ ul(N_A)(x,y )=( ( ul(i), ul(j), ul(k)),( 1, 0, 0),( 0, 1, 0) ) =(0;0;-1) $
Adesso $ ul(F)(sigma_A(x,y))=(x^2;y^2;0) $ e dunque $ ul(F)(sigma_A(x,y))\cdot ul(N_A)(x,y)=0 $ quindi $ Phi_A=0 $
Cerchio B
Il cerchio B è quello che si trova sul piano $z=1$. Dunque $B={(x,y) inmathbb{R^2}| z=1; x^2+y^2<=1} $
Parametrizziamo questa superficie come $ sigma_B=(x,y,1) $ e troviamone il vettore normale uscente. (In questo caso orientato verso l'alto)
$ ul(N_B)(x,y )=( ( ul(i), ul(j), ul(k)),( 1, 0, 0),( 0, 1, 0) ) =(0;0;1) $
$ ul(F)(sigma_B(x,y))=(x^2;y^2;1) $ e dunque $ ul(F)(sigma_B(x,y))\cdot ul(N_B)(x,y)=1 $
Dunque $ Phi_B=intint_Ddxdy $ dove $D={(x,y) inmathbb{R^2}|x^2+y^2<=1$
Passando a coordinate polari otteniamo il nuovo dominio $Omega={(rho,theta) inmathbb{R^2}|0<=rho<=1;0<=theta<=2pi}$ ,la funzione $f(rho,theta)=1$ e lo Jacobiano della trasformazione $rho$
Quindi $ Phi_B=int_0^1rho drhoint_0^(2pi)d theta=pi $
In conclusione $ Phi_C=Phi_(SC)-Phi_A-Phi_B=pi-0-pi=0 $ dove $Phi_C$ è il flusso attraverso la superficie cilindrica e $Phi_(SC)$ è il flusso attraverso il solido cilindro.
Ciao ciao
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