Fascio di rette

[92kiaretta]

Ciao avrei una domanda di geometria: come si fa a determinare l'equazione del fascio di rette parallela ad una data retta nello spazio R3. E poi un' altra domanda: come si fa a trovare l'insieme delle soluzioni di un'equazione cartesiana con 4 incognite e termine noto 0

[ciampax]

La seconda non l'ho capita: hai un esempio/esercizio concreto da risolvere così lo vediamo?

Per la prima: dipende se la retta è scritta in forma cartesiana o parametrica. Se la retta è parametrica

[math]x=x_0+\alpha t,\ y=y_0+\beta t,\ z=z_0+\gamma t[/math]

allora basta considerare le rette di equazione

[math]x=a+\alpha t,\ y=b+\beta t,\ z=c+\gamma t[/math]

con

[math](a,b,c)[/math]

arbitrari: tali rette, avendo stessa direzione della retta data sono tutte parallele tra loro e passano per il punto

[math](a,b,c)[/math]

Nel caso la retta sia in forma cartesiana

[math]\left\{\begin{array}{l}
ax+by+cz+d=0\\ a' x+b' y+c' y+d'=0
\end{array}\right.[/math]

basta scrivere la nuova equazione

[math]\left\{\begin{array}{l}
ax+by+cz+k=0\\ a' x+b' y+c' y+h=0
\end{array}\right.[/math]

con

[math](k,h)[/math]

parametri arbitrari: i piani ottenuti sono paralleli a quelli precedenti e quindi si intersecano in una retta parallela a quella precedente.

[92kiaretta]

Il grazie il primo l'ho capito!!
per quanto riguarda il secondo ho questo esercizio determina una parametrizzazione di S definita dal l'equazione X-3Y-Z-T uguale 0.
( i meno sono tutti dei più ma dato che sto usando il cellulare ho la tastiera ridotta al minimo)
e nella soluzione mi dice che bisogna determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione che definisce S e poi dice che una parametrizzazione e data da a(3,-1,0,0)piu b(1,0,-1,0)più c(1,0,0,-1) con a b c nontutt nulli. Però non ho capito come ha fatto a ricavare questi valori

[ciampax]

Ah ok, ora è chiaro. Bé, sostanzialmente (anche se è scritta in maniera strana) la richiesta è quella di determinare una base del sottospazio S definito dall'equazione

[math]X+3Y+Z+T=0[/math]

. Il metodo tipico in questo caso è il seguente: espliciti una variabile in termini delle altre, ad esempio

[math]X=-(3Y+Z+T)[/math]

e ti accorgi che lo spazio ha dimensione tre in quanto tre sono le variabili libere. A questo punto, sostituisci a tali variabili libere i valori 1 e 0, in modo che ogni volta una sola di esse valga uno e l'atra valga zero (in pratica costuisci l'isomorfismo tra S ed

[math]\mathbb{R}^3[/math]

dotato della base canonica) in modo da trovare i valori di X. In definitiva ottieni i vettori

[math](-3,1,0,0),\ (-1,0,1,0),\ (-1,0,0,1)[/math]

che sono esattamente quelli scritti sopra ma cambiati di segno (è ininfluente: se come vettori di base scegli questi o i loro opposti - o addirittura dei multipli - il risultato non cambia).

Infine, dal momento che S risulta uno spazio vettoriale di dimensione 3, i suoi punti si vedono come combinazione lineare qualsiasi dei tre vettori di base precedente, da cui la parametrizzazione (o decomposizione secondo la base, per dire meglio)

[math](x,y,z,t)=a(3,-1,0,0)+b(1,0,-1,0)+c(1,0,0,-1)[/math]