$f in C^(+infty)(RR)$ HELP

[Navarone89]

Di nuovo ciao a tutti ragazzi =).

Potreste dirmi come si procede per dimostrare una cosa del genere?

Data $f(x)=ln(2-cosx)$ dimostrare che $f in C^(+infty)(RR)$

Mi basta anche solo uno spunto per iniziare, ho fatto un paio di derivate e si procede senza arresti, ma come lo formalizzo per ogni ordine di derivata?

[walter891]

in prarica devi dimostrare che eventuali denominatori non si annullino mai, credo si possa fare con le proprietà delle funzioni goniometriche

[Noisemaker]

"Navarone89":Di nuovo ciao a tutti ragazzi =).

Potreste dirmi come si procede per dimostrare una cosa del genere?

Data $f(x)=ln(2-cosx)$ dimostrare che $f in C^(+infty)(RR)$

Mi basta anche solo uno spunto per iniziare, ho fatto un paio di derivate e si procede senza arresti, ma come lo formalizzo per ogni ordine di derivata?

osserva che

$f(x)=ln(2-\cos x)$

$f'(x)=\frac{\sin x}{2-\cos x},\quad f''(x)=\frac{2\cos x -1 }{(2-\cos x)^2},\quad f'''(x)=\frac{-2\sin x (2-\cos x)^2-2\sin x(2-\cos x) }{(2-\cos x)^4}$

ciò che puoi notare è che anumeratore comunque ottieni una funzione continua, perchè somma e composizione di funzioni continue, denominatore ugualmente ottieni una composizione di funzioni continue; allora affinche tutte le derivate siano continue deve verificarsi che il denominatore non si annulli mai, cioè deve essere:

$ (2-\cos x)^{2n}\ne0$

e questo è vero per qualsiasi valore di $n;$ allora la funzione e di classe $C^{\infty}.$

[Raptorista1]

Secondo me questi ragionamenti euristici sono un po' oscuri

Fai prima a dire che \(1 \le 2 - \cos x \le 3\), quindi \(\ln (2 - \cos x)\) è definita su tutto \(\mathbb R\). A questo punto usi il fatto che la tua funzione è composizione di funzioni \(C^\infty\) e quindi è anch'essa \(C^\infty\).

[Navarone89]

"Raptorista":Secondo me questi ragionamenti euristici sono un po' oscuri

Fai prima a dire che \(1 \le 2 - \cos x \le 3\), quindi \(\ln (2 - \cos x)\) è definita su tutto \(\mathbb R\). A questo punto usi il fatto che la tua funzione è composizione di funzioni \(C^\infty\) e quindi è anch'essa \(C^\infty\).

Giustissimo, GRAZIE =)