EX teorico - Integrali
Vorrei dimostrare il seguente fatto:
Sia \(\displaystyle f \in \mathcal{R}_{\text{loc}}([0,+\infty[) \) positiva e decrescente tale che \[\displaystyle \int^{+\infty}_{0} f(t) \ dt < + \infty \]
Allora \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x)=0 \]
E pensavo a:
Per la monotonia e la positività di \(\displaystyle f \) dev'essere intanto \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 \); se infatti fosse \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=c \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \), allora per le proprietà di monotonia degli integrali (e scelto \(\displaystyle \epsilon>0 \) t.c. \(\displaystyle c-\epsilon>0 \)) si avrebbe che \[\displaystyle +\infty=\int^{+\infty}_{0} (c-\epsilon) \ dx < \int^{+\infty}_{0} f(x) \ dx \]
Considero ora \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x) \]
Anche qui, se per assurdo fosse \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x)=\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{\frac{1}{x}}=c \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \), allora \[\displaystyle f(x) \sim_{+\infty} \frac{1}{x} \ \Rightarrow \ \int^{+\infty}_{0} f(x) \ dx=+\infty \] per il criterio del confronto asintotico, contro l'ipotesi. Dev'essere allora \(\displaystyle f(x) = o \left( \frac{1}{x} \right) \).
Che ne dite?
Sia \(\displaystyle f \in \mathcal{R}_{\text{loc}}([0,+\infty[) \) positiva e decrescente tale che \[\displaystyle \int^{+\infty}_{0} f(t) \ dt < + \infty \]
Allora \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x)=0 \]
E pensavo a:
Per la monotonia e la positività di \(\displaystyle f \) dev'essere intanto \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 \); se infatti fosse \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=c \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \), allora per le proprietà di monotonia degli integrali (e scelto \(\displaystyle \epsilon>0 \) t.c. \(\displaystyle c-\epsilon>0 \)) si avrebbe che \[\displaystyle +\infty=\int^{+\infty}_{0} (c-\epsilon) \ dx < \int^{+\infty}_{0} f(x) \ dx \]
Considero ora \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x) \]
Anche qui, se per assurdo fosse \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x)=\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{\frac{1}{x}}=c \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \), allora \[\displaystyle f(x) \sim_{+\infty} \frac{1}{x} \ \Rightarrow \ \int^{+\infty}_{0} f(x) \ dx=+\infty \] per il criterio del confronto asintotico, contro l'ipotesi. Dev'essere allora \(\displaystyle f(x) = o \left( \frac{1}{x} \right) \).
Che ne dite?
Risposte
"Delirium":
Considero ora \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x) \]
Anche qui, se per assurdo fosse \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x)=\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{\frac{1}{x}}=c \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \)
E come fai ad essere sicuro che quel limite esiste?
"dissonance":
E come fai ad essere sicuro che quel limite esiste?
Cosa intendi per "esistenza" del limite? Esistenza finita oppure non esistenza del tipo \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sin x \)?
Effettivamente se fosse \(\displaystyle c=+\infty \) potrei avere dei problemi perché il criterio del confronto asintotico non funziona... L'altro caso lo escluderei perché tutto sommato la frazione in questione non presenta "patologie strane" che potrebbero provocare oscillazioni all'infinito.
Se è $+oo$, allora, fissato $M$, da $bar(x)$ in poi si ha che $f(x) > M/x$, donde l'assurdo. Tutto sta nel dimostrare la regolarità di $x f(x)$, mi sembra...
"Delirium":
Effettivamente se fosse \(\displaystyle c=+\infty \) potrei avere dei problemi perché il criterio del confronto asintotico non funziona...
Se \(c=+\infty\) vabbè, ciò significa che per \(x\) grande è \(f(x) \gtrsim 1/x\) (l'ondina significa che ci potrebbero essere costanti moltiplicative positive) e quindi chiaramente l'integrale diverge.
L'altro caso lo escluderei perché tutto sommato la frazione in questione non presenta "patologie strane" che potrebbero provocare oscillazioni all'infinito.Ma si, sono d'accordo, però lo devi dimostrare.
EDIT: ecco, vedi, siamo d'accordo io e Seneca.
Per dimostrare che esiste \(\lim_{x\to +\infty} xf(x)\) basta far vedere che, grazie all'ipotesi di integrabilità (e monotonia), \(\liminf_{x\to +\infty} xf(x) = \limsup_{x\to +\infty} xf(x)\).
Sia infatti \((x_n)_n\) una successione monotona crescente, con \(x_0=0\), tale che \(\lim_n x_n f(x_n) = \limsup_{x\to +\infty} xf(x)\).
Abbiamo che
\[
xf(x) \geq x_n f(x_{n+1}) = x_{n+1} f(x_{n+1}) - (x_{n+1}- x_n) f(x_{n+1})
\qquad\forall x\in [x_n, x_{n+1}].\qquad (1)
\]
D'altra parte
\[
\int_0^{\infty} f(x) dx \geq \sum_{n=0}^{\infty} (x_{n+1}-x_n) f(x_{n+1}),
\]
dunque \(\lim_n (x_{n+1}-x_n) f(x_{n+1}) = 0\). Dalla (1) si ha quindi che
\[
\liminf_{x\to +\infty} x f(x) \geq \lim_n x_{n+1} f(x_{n+1}) = \limsup_{x\to +\infty} xf(x).
\]
Sia infatti \((x_n)_n\) una successione monotona crescente, con \(x_0=0\), tale che \(\lim_n x_n f(x_n) = \limsup_{x\to +\infty} xf(x)\).
Abbiamo che
\[
xf(x) \geq x_n f(x_{n+1}) = x_{n+1} f(x_{n+1}) - (x_{n+1}- x_n) f(x_{n+1})
\qquad\forall x\in [x_n, x_{n+1}].\qquad (1)
\]
D'altra parte
\[
\int_0^{\infty} f(x) dx \geq \sum_{n=0}^{\infty} (x_{n+1}-x_n) f(x_{n+1}),
\]
dunque \(\lim_n (x_{n+1}-x_n) f(x_{n+1}) = 0\). Dalla (1) si ha quindi che
\[
\liminf_{x\to +\infty} x f(x) \geq \lim_n x_{n+1} f(x_{n+1}) = \limsup_{x\to +\infty} xf(x).
\]
"dissonance":
EDIT: ecco, vedi, siamo d'accordo io e Seneca.
Avete perfettamente ragione, mica sono qui a far polemiche (lungi da me!). Davo per scontato quel fatto perché ancora le mie dimostrazioni non sono abbastanza rigorose, spesso machevoli di dettagli o incomplete. Mi ci sto applicando con impegno, e chiedo appunto consiglio a voi, anche perché questa è un'arte che si impara un po' con il tempo e con la pratica, credo.
[OT]
@dissonance:
...
"It is of course vitally important that you know how to think rigorously, as this gives you the discipline to avoid many common errors and purge many misconceptions."
...
"The ideal state to reach is when every heuristic argument naturally suggests its rigorous counterpart, and vice versa."
...
[/OT]
@dissonance:
...
"It is of course vitally important that you know how to think rigorously, as this gives you the discipline to avoid many common errors and purge many misconceptions."
...
"The ideal state to reach is when every heuristic argument naturally suggests its rigorous counterpart, and vice versa."
...
[/OT]
Propongo questa soluzione alternativa:
Per la convergenza dell'integrale esiste \( x_{\epsilon}\) tale \( \forall x_1,x_2: x_{\epsilon }
\( \epsilon > \int_{x}^{2x}f(t)dt > f(2x) \int_{x}^{2x}dt=xf(2x)\) da cui:
\( lim_{x \rightarrow \infty}xf(2x)=0\) e quindi anche \( lim_{x \rightarrow \infty}xf(x)=0\)
Per la convergenza dell'integrale esiste \( x_{\epsilon}\) tale \( \forall x_1,x_2: x_{\epsilon }
\( \epsilon > \int_{x}^{2x}f(t)dt > f(2x) \int_{x}^{2x}dt=xf(2x)\) da cui:
\( lim_{x \rightarrow \infty}xf(2x)=0\) e quindi anche \( lim_{x \rightarrow \infty}xf(x)=0\)
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