[EX] Teoremino . F continua e intervalli.

[Kashaman]

Ri - Salve ragazzi, vi pongo in esame la dimostrazione di questo teoremino :

Ho da mostrare che :
Sia $f : (a,b) -> RR$ , $(a,b)$ intervallo di $RR$ qualsiasi. $f$ continua.
Siano $x_1,x_2,..,x_n \in (a,b)$ . Allora $EE x_0 in (a,b) \: t.c \: f(x_0) = (\sum_{i=0}^n f(x_i))/n$
Svolgimento :

Ho ragionato così. Poiché $f$ è continua e definita in un intervallo. Detto $I $ intervallo di $RR$.
$f $ è di tipo $f : (a,b) -> I$.
Siano ora $x_1,...,x_n \in (a,b)$ , si ha che $f(x_1),...,f(x_n) \in I $.
Posto $\psi = min{ f(x_1), ..., f(x_n)}$ e $\mu = max{f(x_1),..,f(x_n)}$.
Mi è lecito considerare l'intervallo $K= [\psi , \mu] sube I $.
Ovviamente si ha che tutti gli $f(x_i) \in K $ , in particolare $(\sum_{i=0}^n f(x_i))/n \in K sube I $.
Dunque, per il teorema dei valori intermedi, esiste un $x_0$ soddisfacente le ipotesi richieste.


Vi convince? Grazie mille.

[Noisemaker]

funzioni-continue-t104975.html

[Plepp]

"Kashaman":
Ovviamente si ha che tutti gli $f(x_i) \in K $ , in particolare $(\sum_{i=0}^n f(x_i))/n \in K sube I $.
Dunque, per il teorema dei valori intermedi, esiste un $x_0$ soddisfacente le ipotesi richieste.

Il teorema dei valori intermedi non serve qua Fra Se ${\sum f(x_i)}/n \in K\subseteq I=\text{Im} f$, è chiaro che esiste un $x_0$ tale che $f(x_0)={\sum f(x_i)}/n$...(è così per definizione di $\text{Im}f$ insomma). A parte questo, mi sembra tutto ok

[Kashaman]

grazie ragazzi

[gugo82]

Tanto per dirne una...

Lo stesso teorema vale se al secondo membro dell'uguaglianza nella tesi sostituisci \(\frac{1}{N}\ \sum_{n=1}^N f(x_n)\) con la quantità:
\[
\sum_{n=1}^N \lambda_n\ f(x_n)
\]
ove i \(\lambda_1,\ldots ,\lambda_N \in [0,1]\) sono tali che \(\sum_{n=1}^N \lambda_n=1\).