[EX] Sulle serie convergenti

[gugo82]

Un esercizio per i giovincelli che preparano Analisi I... Niente di assurdo, perciò gradirei lo risolvessero gli studenti del primo anno (se ce ne sono di interessati tra noi).

***

Esercizio:

Sia \((a_n)\) una successione a termini non negativi (i.e., \(a_n\geq 0\)).
Provare che:
\[
\begin{split}
\sum a_n \text{ converge}\quad &\Leftrightarrow \quad \sum \frac{a_n}{1+a_n} \text{ converge}\\
\sum a_n \text{ diverge}\quad &\Leftrightarrow \quad \sum \frac{a_n}{1+a_n} \text{ diverge.}
\end{split}
\]

[ciampax]

Lo sai che l'ho chiesto all'orale ad una venerdì scorso?

[theras]

[OT,ma nn troppo.. ]
@Ciampax
Ha risposto da sola,
o ha avuto bisogno d'un piccolo instradamento?
[/OT]
Saluti dal web.

[j18eos]

@theras Io ti propongo un indizio: quando dimostri i teoremi di convergenza per le serie e per le successioni numeriche, in genere utilizzi un argomento teorico molto importante in analisi matematica.

[Noisemaker]

Io Provo ...

Consideriamo la serie $ \sum_{n=1}^{ \infty} a_n$ divergente; si possono presentare due casi:

$ \lim_{n \to +\infty}a_n=L \ne 0, \text{oppure} \lim_{n \to +\infty}a_n =0 $


distinguiamo dunque i due casi:

1°Caso:$ \lim_{n \to +\infty}a_n=L\ne0:$

in questo caso il termine generale della serie può avere limite $L$ numero reale, oppure $\pm\infty:$ allora avremo:
\begin{align*}
\lim_{n \to +\infty }\frac{ a_n }{1+a_n }=\begin{cases} \displaystyle\frac{ L}{1+L }\not=0,\to \mbox{diverge } ,&\mbox{se }L \in\mathbb{R}, \\\\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty }\frac{ a_n }{a_n\left(1+\frac{1}{a_n} \right)}=1\not=0, \to \mbox{diverge }& \mbox{se }L=\pm\infty,
\end{cases}
\end{align*}
Dunque se il termine generale della serie $ \sum_{n=1}^{ \infty} , a_n$ non è infinitesimo, la serie $ \sum_{n=1}^{ \infty}\frac{ a_n }{1+a_n },$ risulta divergente

2° Caso: $ lim_{n \to +\infty}a_n=0:$ in questo caso, la serie è a termini positivi ($a_n>0$) e con termine generale infinitesimo. Per il criterio del rapporto, sappiamo che se
\begin{align*}
\lim_{n \to +\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}\le \lambda<1,\,\,\, \text{converge, mentre diverge se}\,\,\, \lim_{n \to +\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} >1
\end{align*}
Allora, posto $b_n= \frac{ a_n }{1+a_n },$ possiamo scrivere che
\begin{align*}
\frac{b_{n+1}}{b_n} >1& \to \,\, b_{n+1} >{b_n}\,\,\to \,\,\frac{ a_{n+1} }{1+a_{n+1} }> \frac{ a_n }{1+a_n } \,\,\to \,\,a_{n+1}+a_n(a_{n+1})> a_n+a_n(a_{n+1} )\\
&\to \,\,a_{n+1} > a_n
\end{align*}

e poichè $a_n$ è il termine generale di una serie divergente, $a_{n+1}$ non può che divergere; la disuguaglianza èdunque sempre verificata, e quindi la serie $ \sum_{n=1}^\infty \frac{ a_n }{1+a_n }$ diverge anche in questo caso.

Consideriamo la serie $ \sum_{n=1}^{ \infty} a_n$ Convergente; allora in questo caso sarà certamente

$ \lim_{n \to +\infty}a_n =0 $

allora il termine generale della serie $\frac{ a_n }{1+a_n }\sim a_n $ e dunque non può che convergere

[Noisemaker]

"gugo82": ...(se ce ne sono di interessati tra noi)....

***

personalmente.... penso che questi siano "gli esercizi di Analisi Matematica" ... e devono interessare chi studia analisi ... Personalmente ne impbrocco circa uno su $10^{37}$ ... ma questa è un altra storia ....

P.S: grazie per l'auito relativo all'esercizo di eri ( funzioni monotone ) ... appena ho letto i tuoi suggerimenti ... ho avuto la conferma di avere il cervello pieno di ragnatele!!!!

[Sk_Anonymous]

Butto lì un'idea:

Dovrebbe potersi dedurre tutto dal criterio del confronto asintotico, anche se è probabile che gugo volesse una dimostrazione più "diretta".

Posso supporre \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) con termini che sono definitivamente non nulli. Siccome è \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_{n}=0 \) (condizione necessaria di convergenza), si ha \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n} + 1} \cdot \frac{1}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+a_{n}}=1 \] ossia \[\displaystyle a_{n} \sim_{+\infty} \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \] da cui si ottengono tutte le informazioni richieste. Ci sono da sistemare tutti i dettagli - per esempio il dedurre che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n}+1}=0 \) da \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}=0 \) e viceversa - ma credo che l'idea possa andare.

[gugo82]

@Noisemaker:

"Noisemaker":Io Provo ...

Consideriamo la serie $ \sum_{n=1}^{ \infty} a_n$ divergente; si possono presentare due casi:

$ \lim_{n \to +\infty}a_n=L \ne 0, \text{oppure} \lim_{n \to +\infty}a_n =0 $

E perchè si possono presentare solo due casi?
Non è possibile che il limite non esita?

Considera la successione:
\[
a_n:=\begin{cases} 1 &\text{, se } n \text{ è pari}\\
0 &\text{, se } n \text{ è dispari}
\end{cases}
\]
Esiste il \(\lim_n a_n\)? E la serie \(\sum a_n\) che carattere ha?

@Noisemaker & Delirium: Ok, il criterio asintotico rende tutto semplice.
Ma se doveste farne a meno, come procedereste?

[Noisemaker]

"gugo82":@Noisemaker:
[quote="Noisemaker"]Io Provo ...

Consideriamo la serie $ \sum_{n=1}^{ \infty} a_n$ divergente; si possono presentare due casi:

$ \lim_{n \to +\infty}a_n=L \ne 0, \text{oppure} \lim_{n \to +\infty}a_n =0 $

E perchè si possono presentare solo due casi?
Non è possibile che il limite non esita?
[/quote]

e no perche $a_n>0$ quindi nella serie $ \sum_{n=1}^{ \infty} a_n$ le somme parziali formano una successione monotona (debolmente) crescente e da ciò ( cioè dal fatto che ogni successione monotona ha limite, in particolare finito se risulta limitata) si ottiene che una serie a termini positivi o converge o diverge ma non oscilla

[gugo82]

@Noisemaker: Appunto! La successione delle somme parziali è monotona, non la successione degli addendi.
Quindi non puoi assumere regolarità all'infinito per gli \(a_n\), in generale.

[Gi81]

@noisemaker: gugo ha scritto che $a_n>=0$, non che $a_n>0$.

A parte questo, anche con $a_n>0$ si presentano gli stessi problemi:

\[
a_n:=\begin{cases} 1 &\text{, se } n \text{ è pari}\\
2 &\text{, se } n \text{ è dispari}
\end{cases}
\]
Esiste il \(\lim_n a_n\)?

[theras]

@Giò
Ho risposto tranquillamente ad Armando in privato:
in effetti un intervento,sebbene off Topics,l'avevo fatto,
ed a rileggerlo attentamente poteva esser interpretato come aveva fatto lui:
ora dovrebbe esser tutto più chiaro !
@Gugo
Che problema c'è,nel caso da te attenzionato?
In quell'evenienza,se per assurdo fosse vero che $EElim_(n to +oo)(a_n)/(1+a_n)=0$,
avremmo che $EElim_(n to +oo)(1+a_n)/(a_n)=+oorArrEElim_(n to +oo)(1/(a_n)+1)=+oorArrEElim_(n to +oo)1/(a_n)="+oo-1"=+oorArrEElim_(n to +oo)a_n=0$,in contrasto con quanto ipotizzavi:
pertanto la serie presente nella ts,
non potendo in quel caso avere termine generale infinitesimo ed essendo a termini non negativi,
continuerebbe a divergere come nelle rimanenti eventualità ben trattate da Delirium e l'utente rumoroso..
Piuttosto io direi,per rilanciare l'invito all'uso del "potente" Teorema di Cesaro,
che se $ a_n to +oo$,avremo che $EElim_(n to +oo)(a_n)/(1+a_n)=[(+oo)/(+oo)]=lim_(n to +oo)(a_(n+1)-a_n)/([1+a_(n+1)-(1+a_n)])=cdots=1ne0$:
poi è indubbio che,in due proposizioni su quattro,potevamo subito cavarcela col criterio del confronto
(quello,cioè,da cui trae giustificazione il criterio del confronto asintotico..)
e la non negatività della succ. di termine generale $a_n$..
@Delirium ed "Il rumoroso":
E le altre due?
Ancora più lampanti,direi:
chi ci dice perchè ?
Saluti dal web.

[Noisemaker]

"gugo82":
Considera la successione:
\[
a_n:=\begin{cases} 1 &\text{, se } n \text{ è pari}\\
0 &\text{, se } n \text{ è dispari}
\end{cases}
\]
Esiste il \(\lim_n a_n\)? E la serie \(\sum a_n\) che carattere ha?

naturalmente il limite di quella successione non esiste ; per studiare la serie, io molto "rozzamente" farei cosi:

$\sum_{n=1}^\infty a_n= \sum_{k}^\infty a_{2k}+ \sum_{k}^\infty a_{2k+1} \to \mbox{diverge}$

in quanto $\sum 1$ diverge poiche il termine generale non è infinitesimo, mentre $\sum 0 $ converge a zero: allora per linearità la serie diverge

[Sk_Anonymous]

Bhé, due implicazioni su quattro sono comunque banali, quindi non vedo perché complicarsi troppo la vita.
Se \(\displaystyle a_{n} \ge 0 \quad \forall \; n \in \mathbb{N} \) vale senz'altro \(\displaystyle a_{n} \ge \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \) in quanto \(\displaystyle a_{n}+1 \ge 1 \), quindi \[\displaystyle \sum a_{n} \quad \text{convergente} \quad \Rightarrow \quad \sum \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \quad \text{convergente} \]e \[\displaystyle \sum \frac{a_{n}}{a_{n}+1}\quad \text{divergente} \quad \Rightarrow \quad \sum a_{n} \quad \text{divergente} \]

Se poi \[\displaystyle \sum \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \quad \text{convergente} \] considero \[\displaystyle b_{n}=\left|a_{n} - \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \right|=\frac{a_{n} ^2}{a_{n}+1} \le \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \quad [1] \quad \text{definitivamente} \]da cui si deduce che \[\displaystyle \sum b_{n} \quad \text{è (assolutamente) convergente} \]quindi \[\displaystyle a_{n}=|a_{n}|=a_{n} - \frac{a_{n}}{a_{n}+1} + \frac{a_{n}}{a_{n} +1}= \left| a_{n} - \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \right| + \left| \frac{a_{n}}{a_{n} +1} \right|\le \frac{2a_{n}}{a_{n} +1} \] donde la tesi.

Specularmente, se \[\displaystyle \sum a_{n} \quad \text{divergente} \]allora ricordo che vale* \(\displaystyle \frac{a_{n}}{1+a_{n}} \ge \text{min} \{1,a_{n} \} \)

Assunta la disuguaglianza sopra, si può concludere osservando che si presentano più casi: posto \[\displaystyle A=\{n \in \mathbb{N} \; | \; \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \ge 1 \} \] se \(\displaystyle \text{card} \; A=\aleph_{0} \) allora \[\displaystyle \sum \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \ge \sum_{n \in A} \; 1_{n}=+\infty \]posto poi \[\displaystyle B= \{n \in \mathbb{N} \; | \; \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \ge a_{n} \}\] se \(\displaystyle \text{card} \; B=\aleph_{0} \) e \(\displaystyle \text{card} \; A \in \mathbb{N} \) allora \[\displaystyle \sum \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \ge \sum_{n \in B} a_{n}=+\infty \]
________________________________________
* Di questa disuguaglianza non sono per niente sicuro. Devo averla letta sul De Marco tempo fa, ma ora non riesco né a trovarla né a dimostrarla... E forse c'era pure \(\displaystyle \frac{1}{2} \) davanti a \(\displaystyle \min \)... Qualora fosse falsa, il mio ragionamento risulterà di nuovo fallace.

Edit. Concluso.
Edit #2. Corretto un erroraccio; forse così funziona. Mi faccio carico di riscrivere per bene la soluzione, dal momento che ci sono delle parti da rendere nitide.

[gugo82]

Ragazzi, è tutta una questione di disuguaglianze...
Spoilerizzo la mia soluzione, per non levare la suspance.

Valgono le disuguaglianze:
\[
\forall x\in [0,\infty[,\qquad x \geq \frac{x}{1+x} \geq \frac{1}{2}\ \min \{x, 1\}
\]
usando le quali è possibile mostrare valide tutte e quattro le implicazioni precedenti.

Infatti, le:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n <+\infty \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{1+a_n}<+\infty \qquad \text{e} \qquad \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{1+a_n} =+\infty \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=0}^\infty a_n =+\infty
\]
discendono, come già notato da altri, dalla disuguaglianza \(x\geq x/(1+x)\). Quindi basta mostrare le rimanenti due implicazioni.

Se si ha:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{1+a_n}<+\infty
\]
allora, definitivamente si avrà \(a_n/(1+a_n)<1/3\) per la Condizione Necessaria; dalla disuguaglianza \(x/(1+x)\geq 1/2 \min \{ x,1\}\) si trae allora che definitivamente \(\min \{ a_n,1\}=a_n\) e perciò:
\[
a_n\leq 2\frac{a_n}{1+a_n}
\]
da cui si desume la convergenza di \(\sum a_n\).

Infine, se:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n =+\infty\; ,
\]
sono possibili due alternative: (1) o è definitivamente \(a_n<1\) oppure (2) esistono infiniti indici \(n_k\) tali che \(a_{n_k}\geq 1\).
Nel caso (1), da \(x/(x+1)\geq 1/2 \min \{ x,1\}\) segue che la serie \(\sum a_n/(1+a_n)\) è minorata dalla serie divergente \(1/2 \sum a_n\).
Nel caso (2), invece, si ha:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^{n_k} \frac{a_n}{1+a_n} &\geq \sum_{n=n_0,n_1,\ldots ,n_k} \frac{a_n}{1+a_n}\\
&\geq \sum_{n=n_0,n_1,\ldots n_k} \frac{1}{2}\ \min \{ a_n,1\}\\
&= \sum_{n=n_0,n_1,\ldots ,n_k} \frac{1}{2} \\
&=\frac{k+1}{2}\; ,
\end{split}
\]
perciò la successione delle somme parziali della serie \(\sum a_n/(1+a_n)\) possiede un'estratta divergente; da ciò segue immediatamente la divergenza di \(\sum a_n/(1+a_n)\).

@Delirium: Ci sei quasi.

@Noisemaker: Come ho già detto, l'errore risiede nel fatto che dalla divergenza di \(\sum a_n\) non puoi trarre alcuna informazione né tantomeno l'esistenza del \(\lim_n a_n\).

@theras: Come al solito fatico a seguirti.

@ciampax:Scommetto che lo studente l'ha dimostrato così, no?

[Sk_Anonymous]

@gugo: ho aggiornato or ora lo spoiler, vedi se ti garba

[DajeForte]

Comunque queste quattro implicazioni sono speculari, nel senso che dimostrate (opportune) due, si ottengono le altre due in maniera "speculare".

[Noisemaker]

"theras":
@Delirium ed "Il rumoroso":
E le altre due?
Ancora più lampanti,direi:
chi ci dice perchè ?
Saluti dal web.

dobbiamo far vedere che se

1) $ \sum \frac{ a _ n }{ 1 +a _{n}} \to \mbox {diverge} \Rightarrow \sum a_n \to \mbox {diverge} $

2)$\sum \frac{ a _ n }{ 1 +a _{n}} \to \mbox {converge} \Rightarrow \sum a_n \to \mbox {converge} $

1)

osservando che $ 1 +a _{n}\ge1$ essendo per ipotesi $a_n\ge0,$ abbiamo che

$ \frac{1}{ 1 +a _{n}} \le 1\quad \Rightarrow\quad \frac{a _{n}}{ 1 +a _{n}} \le a _{n}$

per confronto allora anche $a _{n}$ diverge;

2)

essendo


$a_n=( \frac{a_n}{ 1 +a _{n}}- \frac{a_n}{ 1 +a _{n}})+a_n=(a_n- \frac{a_n}{ 1 +a _{n}})+ \frac{a_n}{ 1 +a _{n}}=( \frac{a^2_n}{ 1 +a _{n}})+ \frac{a_n}{ 1 +a _{n}}\le \frac{a_n}{ 1 +a _{n}} + \frac{a_n}{ 1 +a _{n}}$
$=frac{2a_n}{ 1 +a _{n}}$

si ha

$a_n \le frac{2a_n}{ 1 +a _{n}}\to\mbox{converge}$


si tratta di giustificare la disuguagliaza, cioè

$( \frac{a^2_n}{ 1 +a _{n}})+ \frac{a_n}{ 1 +a _{n}}\le \frac{a_n}{ 1 +a _{n}} + \frac{a_n}{ 1 +a _{n}}$

essendo convergente la serie di termine generale $\frac{a _n}{ 1 +a _{n}}$ abbiamo che $\lim_{n \to+\infty }\frac{a _n}{ 1 +a _{n}}=\lim_{n \to+\infty }1-\frac{1}{ 1 +a _{n}}=0;$ ma allora $a_n\to0;$ allora $0

Cita

Segnala

[gugo82]

@Delirium: Ma perchè dovrebbe essere:
\[
\frac{a_n^2}{1+a_n}\leq \frac{a_n}{1+a_n}
\]
quando \(\sum a_n/(1+a_n)\) diverge?
[Quando converge siamo d'accordo, ma dovresti spiegarlo comunque meglio.]

Prendi \(a_n=2\) per ogni \(n\): in tal caso:
\[
\frac{a_n^2}{1+a_n} = \frac{4}{3} > \frac{2}{3} = \frac{a_n}{1+a_n}
\]
eppure \(\sum a_n/(1+a_n)\) diverge...

[Sk_Anonymous]

Aah che erroraccio! Mi sono confuso, vado a sistemare.

[theras]

@Gugo

"theras":
Che problema c'è,nel caso da te attenzionato?
In quell'evenienza,se per assurdo fosse vero che $EElim_(n to +oo)(a_n)/(1+a_n)=0$,
avremmo che $EElim_(n to +oo)(1+a_n)/(a_n)=+oorArrEElim_(n to +oo)(1/(a_n)+1)=+oorArrEElim_(n to +oo)1/(a_n)="+oo-1"=+oorArrEElim_(n to +oo)a_n=0$,in contrasto con quanto ipotizzavi:
pertanto la serie presente nella ts,
non potendo in quel caso avere termine generale infinitesimo ed essendo a termini non negativi,
continuerebbe a divergere come nelle rimanenti eventualità ben trattate da Delirium e l'utente rumoroso..

Fino a quì ho solo detto che,se per hp $sum_(n=0)^(+oo)a_n$ divergesse ed inoltre ${a_n}_(n inNN)$ oscillasse
(come da te ipotizzato in quello specifico esempio..),
il termine generale di $sum_(n=0)^(+oo)(a_n)/(1+a_n)$ non potrebbe esser infinitesimo,
almeno di non voler rientarare,con la tecnica evidenziata,
nell'assurdo che siffatta ${a_n}_(n inNN)$ sia al contempo oscillante ed infinitesima:
cio basta per dire che quest'ultima serie numerica diverge anche nell'ipotesi in cui oscilli il termine generale della serie,
divergente,presente nella parte necessaria della seconda equivalenza logica..

"theras":
Piuttosto io direi,per rilanciare l'invito all'uso del "potente" Teorema di Cesaro,
che se $ a_n to +oo$,avremo che $EElim_(n to +oo)(a_n)/(1+a_n)=[(+oo)/(+oo)]=lim_(n to +oo)(a_(n+1)-a_n)/([1+a_(n+1)-(1+a_n)])=cdots=1ne0$

E quì sono pervenuto,grazie al "teorema del Marchese sul discreto",a conclusione analoga della precedente quando,
nel dimostrare la parte necessaria della seconda cns,si dovesse presentare il caso che $EElim_(n to +oo)a_n=+oo$..

"theras":
..poi è indubbio che,in due proposizioni su quattro,potevamo subito cavarcela col criterio del confronto
(quello,cioè,da cui trae giustificazione il criterio del confronto asintotico..)
e la non negatività della succ. di termine generale $a_n$..

Quì ho dato spunto a Delirium per quanto ha poi scritto sette post fà,
o più probabilmente gli ho confermato la bontà di quanto aveva già fatto:
l'idea di trattar il problema,in quelle quattro ed esaustive parole,m'hai "costretto" ad averla proprio tu,
perchè invero ritenevo già conclusa la verifica che avevo realizzato sfruttando le osservazioni precedenti e,
nei casi più "semplici" tra i quattro a priori possibili,il criterio del confronto asintotico..

"theras":
@Delirium ed "Il rumoroso":
E le altre due?
Ancora più lampanti,direi:
chi ci dice perchè ?..

E quì ho semplicemente provato a far osservare,come d'altronde prima notato pure da Daje,
che parte suff. della prima caratterizzazione e necessaria della seconda potevano esser rispettivamente ricavate,
grazie alla legge delle inverse(specularità,la chiama luì,e non mi spiace per nulla il vocabolo)
ed alla regolarità delle serie a termini non negativi,
dalla parte sufficiente della seconda e da quella necessaria della prima:
più "plain" di così non riesco proprio !
Saluti dal web.