[EX] Sulle serie convergenti

[gugo82]

Un esercizio per i giovincelli che preparano Analisi I... Niente di assurdo, perciò gradirei lo risolvessero gli studenti del primo anno (se ce ne sono di interessati tra noi).

***

Esercizio:

Sia \((a_n)\) una successione a termini non negativi (i.e., \(a_n\geq 0\)).
Provare che:
\[
\begin{split}
\sum a_n \text{ converge}\quad &\Leftrightarrow \quad \sum \frac{a_n}{1+a_n} \text{ converge}\\
\sum a_n \text{ diverge}\quad &\Leftrightarrow \quad \sum \frac{a_n}{1+a_n} \text{ diverge.}
\end{split}
\]

[j18eos]

Metto in spoiler la mia soluzione, per il caso delle serie convergenti!

Premetto che per le ipotesi le serie \(\sum a_n\) e \(\sum\displaystyle{\frac{a_n}{1+a_n}}\) sono a carattere determinato.

Per ipotesi sia \(\sum a_n\) convergente, allora è soddisfatta la condizione di Cauchy:
\[
\forall\epsilon>0,\,\exists\nu(\epsilon)=\nu\in\mathbb{N}\mid\forall m;n>\nu,\,a_m+a_{m+1}+...+a_n<\epsilon
\]
in particolare è considerabile:
\[
k=\inf_{n\in\mathbb{N}}\{1+a_n\in\mathbb{R}_+\setminus\{0\}\}\in[1;+\infty[
\]
quindi:
\[
\forall\epsilon>0,\,\exists\nu(\epsilon)=\nu\in\mathbb{N}\mid\forall m;n>\nu,\,\frac{a_m}{1+a_m}+\frac{a_{m+1}}{1+a_{m+1}}+...+\frac{a_n}{1+a_n}\leq\frac{1}{k}(a_m+a_{m+1}+...+a_n)<\frac{1}{k}\epsilon
\]
cioè la serie \(\sum\displaystyle{\frac{a_n}{1+a_n}}\) soddisfa la condizione di Cauchy per cui è convergente.

Per ipotesi sia \(\sum\displaystyle{\frac{a_n}{1+a_n}}\) convergente, allora è soddisfatta la condizione di Cauchy:
\[
\forall\epsilon>0,\,\exists\nu(\epsilon)=\nu\in\mathbb{N}\mid\forall m;n>\nu,\,\frac{a_m}{1+a_m}+\frac{a_{m+1}}{1+a_{m+1}}+...+\frac{a_n}{1+a_n}<\epsilon
\]
in particolare è considerabile:
\[
K=\sup_{n\in\mathbb{N}}\{1+a_n\in\mathbb{R}_+\setminus\{0\}\}\in[1;+\infty[
\]
quindi:
\[
\forall\epsilon>0,\,\exists\nu(\epsilon)=\nu\in\mathbb{N}\mid\forall m;n>\nu,\,\frac{1}{K}(a_m+a_{m+1}+...+a_n)\leq\frac{a_m}{1+a_m}+\frac{a_{m+1}}{1+a_{m+1}}+...+\frac{a_n}{1+a_n}<\epsilon
\]
cioè la serie \(\sum a_n\) soddisfa la condizione di Cauchy per cui è convergente.

Forse manca qualche particolare...

[.sm.12]

Posto anche la mia soluzione

$(1) \sum_{k=1}^n a_n $converge$ \Rightarrow (2) \sum_{k=1}^n \frac{a_n}{1+a_n}$ converge
$\sum_{k=1}^n a_n$ converge $Rightarrow a_n \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{a_n}{1+a_n} \rightarrow 0 $

$\frac{a_n}{\frac{a_n}{1+a_n}}=1+a_n \Rightarrow \ \exists \lim_n \frac{a_n}{\frac{a_n}{1+a_n}}=\lim_n \ (1+a_n)=1$

Dunque le serie hanno lo stesso ordine di infinitesimo dunque anche $\sum_{k=1}^n \frac{a_n}{1+a_n}$ converge
Per il verso contrario la dimostrazione è identica.

Infine Dato che $(1) \Leftrightarrow (2)$ si ha anche $\neg (1) \Leftrightarrow \neg (2)$

[theras]

@sm
Mmhhh..parli d'infinitesimi dello stesso ordine:
per farlo avresti prima bisogno di verificare che,nella parte sufficiente,la successione di termine generale $a_n$ è certamente infinitesima!
Dimostra questo(non è difficile,e da qualche parte in questo post è stato fatto..),
ed a mio modo di vedere la tua verifica filerà come un espresso
(un pò più rapido delle altre,alcune aventi spirito molto simile alla tua,che son presenti in queste tre pagine di thread):
saluti dal web.

[.sm.12]

"theras":@sm
Mmhhh..parli d'infinitesimi dello stesso ordine:
per farlo avresti prima bisogno di verificare che,nella parte sufficiente,la successione di termine generale $a_n$ è certamente infinitesima!
Dimostra questo(non è difficile,e da qualche parte in questo post è stato fatto..),
ed a mio modo di vedere la tua verifica filerà come un espresso
(un pò più rapido delle altre,alcune aventi spirito molto simile alla tua,che son presenti in queste tre pagine di thread):
saluti dal web.

$\frac{a_n}{1+a_n}\rightarrow 0 \Rightarrow a_n \rightarrow 0$

P.A. $a_n \rightarrow l \ne 0 \Rightarrow \frac{a_n}{1+a_n} \rightarrow \frac{l}{1+l} \ne 0$
$a_n \rightarrow +infty \Rightarrow \frac{a_n}{1+a_n} \rightarrow 1 \ne 0$
Infine ultimo caso, non esiste limite di $a_n$ in tal caso posso prendere due successioni convergenti al massimo e minimo limite e duque utilizando tali sottosuccessioni, le sottosuccesioni di $\frac{a_n}{1+a_n}$ convergono a 2 limiti diversi e dunque $\frac{a_n}{1+a_n}$ non ammette limite, allora necessariamente $a_n \rightarrow 0$

[PZf]

@ .sm.: c'è una piccola imprecisione (che si risolve usando l'ipotesi scritta da gugo82, ma che apparentemente a te non servirebbe)
La negazione della proposizione $\sum_{k=1}^{n}a_k\text{ converge}$ non è $\sum_{k=1}^na_k\text{ diverge}$.

[.sm.12]

"PZf":@ .sm.: c'è una piccola imprecisione (che si risolve usando l'ipotesi scritta da gugo82, ma che apparentemente a te non servirebbe)
La negazione della proposizione $\sum_{k=1}^{n}a_k\text{ converge}$ non è $\sum_{k=1}^na_k\text{ diverge}$.

mi tocca sprecare più gesso , ma visto che abbiamo l'AUT-AUT delle serie a termini positivi...

[theras]

@s.m.
O,più semplicemente,$EElim_(n to +oo)(a_n)/(1+a_n)=0rArrEElim_(n to +oo)(1-(a_n)/(1+a_n))=lim_(n to +oo)1/(1+a_n)=1-0=1rArrEElim_(n to +oo)(1+a_n)=1/1=1rArr$
$rArrEElim_(n to +oo)[(1+a_n)-1]=lim_(n to +oo)a_n=1-1=0:$
saluti dal web.
Edit:
modifica per parziale illegibilità(almeno nel mio form..)!

[gugo82]

Rilancio:

Provare o confutare le equivalenze:
\[
\begin{split} \sum a_n \text{ converge}\quad &\Leftrightarrow \quad \sum \phi (a_n) \text{ converge}\\ \sum a_n \text{ diverge}\quad &\Leftrightarrow \quad \sum \phi (a_n) \text{ diverge,} \end{split}
\]
ove \(\phi:[0,+\infty[\to [0,+\infty[\) è tale che:

[list=1] [*:2mlp6ra5] \(\phi\) è strettamente crescente, continua e limitata superiormente;

[/*:m:2mlp6ra5]
[*:2mlp6ra5] esiste una costante \(L\geq 0\) tale che \(\phi (x)\leq L\ x\) per \(x\) sufficientemente piccolo.[/*:m:2mlp6ra5][/list:o:2mlp6ra5]

[theras]

@Gugo82
Con la (2) stai affermando che $EE L in [0,+oo),x_L in(0,+oo)$ $t.c.$ $phi(x_L)<=Lx_L$,
oppure che $AAx in [0,+oo)$ $EE L_x in[0,+oo)$ $t.c.$ $phi(x)<=xL_x$?
Sarà che la stò leggendo nel modo sbagliato,ma non son certo di nessuna delle due:
ritengo però probabile che in almeno una delle due caratterizzazioni del tuo rilancio sia fondamentale interpretarla bene,
e prima di prender carta e penna urge conferma !
Saluti dal web.

[gugo82]

@theras: Nessuna delle due.
Leggila come: "esistono \(L\geq 0\) e \(\delta>0\) tali che \(\phi (x)\leq L\ x\) per ogni \(x\in [0,\delta]\)".

[.sm.12]

Ecco la mia dimostrazione:

Le due serie sono a termini positivi dunque entrambe ammettono limite finito o infinito. ($a_n \ge 0$, in quanto $\phi:[0,+infty) \rightarrow [0,+infty)$)
$\sum_{k=1}^n a_n \ text{converge} \Rightarrow \sum_{k=1}^n \phi(a_n) \ text{converge}$
$\Rightarrow a_n \rightarrow 0 \Rightarrow \exists bar{n}: \forall n \ge bar{n} \ a_n < \epsilon$
Allora da un certo indice $n$ in poi si ha $0 \le \phi(a_n)\le L a_n$ e dunque per il criterio del confronto si conclude
Da qui si ottiene anche $\sum_{k=1}^n \phi(a_n) \ text{diverge} \Rightarrow \sum_{k=1}^n a_n \ text{diverge}$ in quanto la negazione di converge è diverge (le serie sono a termini positivi)
Adesso:
$\sum_{k=1}^n \phi(a_n) \ text{diverge} \Rightarrow \sum_{k=1}^n a_n \ text{diverge}$
Supponiamo per assurdo $a_n$ converge, allora come nel caso 1:
$\Rightarrow a_n \rightarrow 0 \Rightarrow \exists bar{n}: \forall n \ge bar{n} \ a_n < \epsilon$
Allora da un certo indice $n$ in poi si ha $0 \le \phi(a_n)\le L a_n$
Dunque $\sum_{k=1}^n \phi(a_n)$ risulta limitata superiormente, assurdo.
Infine mostriamo che non vale:
$\sum_{k=1}^n \phi(a_n) \ text{converge} \Rightarrow \sum_{k=1}^n a_n \ text{converge}$
Scegliamo $a_n=\frac{1}{n}$, divergente e $\phi(x)=x^2 \ \text{per} \ 0 \le x \le 1 \ \text{e} \frac{2x-1}{x} \text{per} x > 1$
$phi$ rispetta le ipotesi, dunque l'implicazione è falsa.

[gugo82]

@ .sm.: Hai dimostrato due volte \(\sum \phi (a_n) \text{ diverge} \Rightarrow \sum a_n \text{ diverge}\).
Ti manca \(\sum a_n \text{ diverge} \Rightarrow \sum \phi (a_n) \text{ diverge}\).

Ancora:

Cosa accada se al posto della 2. precedente si sostituisce la più forte:

[*:84qa8g8g] esistono \(L\geq l>0\) tali che \(l\ x\leq \phi(x)\leq L\ x\) per \(x\) sufficientemente piccolo?[/*:m:84qa8g8g][/list:u:84qa8g8g]

[theras]

@Gugo
Per la prima parte direi che è il caso risponda sm;
per l'altro quesito(faccio bene ad intendere,visto il grassetto,che era rivolto a tutti?)
direi a sensazione che quell'ipotesi più forte permette di generalizzare il procedimento di Armando,
per verificare come,sotto tutte quelle ipotesi,si abbia che
$sum_(n=n_0)^(+oo)varphi(a_n)$ converge$rArrsum_(n=n_0)^(+oo)a_n$ converge:
ad istinto e conti a mente ne son quasi certo ma,appena posso,ci rifletto sù più formalmente
(che coi versi di disuguaglianze è meglio la prudenza..),
e nel caso faccio sapere.
Saluti dal web.
Edit:
maledetta fretta..

[gugo82]

@ theras: Infatti, si può ripetere tutto verbatim.

Inoltre, è evidente che l'ipotesi di limitatezza supriore si può rimuovere del tutto (non è stata usata in alcuna dimostrazione).
Quindi si è dimostrato il seguente fatto:

Siano \((a_n)\) una successione nonnegativa e \(\phi:[0,\infty[\to [0,\infty[\).
Se:

[*:3sb8pwxm] \(\phi\) è strettamente crescente e continua,

[/*:m:3sb8pwxm]
[*:3sb8pwxm] esistono \(L\geq l >0\) tali che \(l\ x\leq \phi (x)\leq L\ x\) per \(x\) sufficientemente piccolo,[/*:m:3sb8pwxm][/list:u:3sb8pwxm]
allora le serie \(\sum a_n\) e \(\sum \phi (a_n)\) hanno lo stesso carattere.

Evidentemente la seconda ipotesi non si può indebolire; ma cosa si può fare per la prima?

Infine, noto che, geometricamente, la seconda ipotesi su \(\phi\) equivale a dire che intorno a \(0\) il grafico di \(\phi\) non si schiaccia lungo nessuno dei due assi.

[.sm.12]

"gugo82":@ .sm.: Hai dimostrato due volte \(\sum \phi (a_n) \text{ diverge} \Rightarrow \sum a_n \text{ diverge}\).
Ti manca \(\sum a_n \text{ diverge} \Rightarrow \sum \phi (a_n) \text{ diverge}\).

ah vero, comunque per dimostrare che non vale la parte mancante si può scegliere lo stesso controesempio del post di sopra

[theras]

@Gugo
Nel post precedente avevo evidenziato il vocabolo tutte proprio perchè una m'era sembrata di troppo;
per stringare ulteriormente le ipotesi mi pare(se è buona la dimostrazione che ho in testa..)
che basti ammettere come,fermo restante la (2),$(varphi)$ sia continua ed invertibile
(e la conferma che questa è una buona congettura,oltre che dalla tecnica dimostrativa che conto d'usare,
m'è data dalla tua interpretazione geometrica..):
ne riparliamo,se vuoi.
@sm
Ho fatto bene ad aspettare..
Saluti dal web.

[Rigel1]

Supponendo che la seconda ipotesi valga per \(x\in [0, \delta]\) (con \(\delta > 0\)), direi sia sufficiente chiedere che \(\phi(x)\geq c > 0\) per ogni \(x>\delta\).

[theras]

@Rigel
Con ciò intendi dire che,per acquisire entrambe le caratterizzazioni,
basta aggiungere,alla (2),l'ipotesi che $varphi$ è limitata inferiormente in $(delta,+oo)$?
A questo punto mi sorgerebbe addirittura il dubbio che sia superflua ogni altra ipotesi su $varphi$,
al di fuori di quell'opportuno intorno dx di 0..
Saluti dal web.