[ex] funzione monotona

[albertobosia]

un altro esercizio simpatico:
esibire una funzione monotona (in senso largo, ovvero non crescente o non decrescente) dai reali agli irrazionali.
ho una soluzione ma non è suriettiva. ne esiste una suriettiva?

p.s.: non ho capito se ho fatto bene a mettere il tag [ex], spero di non averlo frainteso




EDIT: il testo corretto è:
esibire una funzione monotona (in senso stretto) dai reali agli irrazionali.

[Seneca1]

Comunque una osservazione: se non richiedi la suriettività, l'esercizio è banale.

Prendi la funzione $f : RR -> RR - QQ$ tale che $f(x) = pi$ , $AA x in RR$...

[ViciousGoblin]

Non sono sicuro di avere capito.

Perché $f(x)=\sqrt{2}$ non è ammissibile ??


EDIT. Ho risposto in contemporanea con seneca...

[albertobosia]

chiedo scusa: non era affatto monotona in senso largo.
questo conferma che non devo stare al computer prima delle sette di mattina.

[Seneca1]

E quindi com'era?

[albertobosia]

sempre crescente

[ViciousGoblin]

Comunque mi pare che non possa essere surgettiva sugli irrazionali (o in generale su un insieme denso) perché se lo fosse
sarebbe continua e di conseguenza avrebbe come immagine un intervallo (e allora l'immagine conterrebbe dei razionali).
In effetti se $f$ ha una discontiunità in qualche punto, allora ha un salto e di conseguenza all'immagine manca un intervallo.

Ho detto le cose in modo un po' qualitativo - spero si capisca.

[ViciousGoblin]

"albertobosia":sempre crescente

Cioè crescente in senso stretto ?

[albertobosia]

esattamente.
ho modificato il post iniziale onde evitare ulteriori fraintendimenti.

[DMNQ]

"albertobosia":un altro esercizio simpatico:

esibire una funzione monotona (in senso stretto) dai reali agli irrazionali.

Buona sera ;

Forse l'idea non è interessante .
Pensavo a una funzione
$ f : [ 0 ; +infty [ -> [ 0 ; + infty [ $ definita nel modo seguente :
per $ x>=0 $ posso scrivere $ x = n + \sum_{k=1}^{+infty} \frac{a_k}{2^k} $ con $ a_k = 0 $ o $ 1 $ e $ n in NN $
e cosi prendo $ f(x)= n +\sum_{k=1}^{+infty} \frac{a_(k^2)+1}{3^(k^2)} $ .
$ f $ è crescente strettamente e le immagini $ f(x) $ sono irrazionali ?

[albertobosia]

per caso intendi
\(\displaystyle f(x)=n+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{{(a_k)}^2+1}{{(3^k)}^2}\)
invece è un'interessante idea, con lo sviluppo base 2
non mi è chiaro come dimostrare l'irrazionalità di quei numeri... c'è qualcosa che mi sfugge?
edit: continuavo a rappresentarlo in base 10 e mi restavano tutti i resti...

bravo

[Rigel1]

Una siffatta funzione non può essere continua (altrimenti avrebbe come immagine tutto $\RR$).
Se ha un punto di discontinuità $x_0$ (necessariamente di tipo salto), nell'immagine manca tutto l'intervallo \( (f(x_0-), f(x_0+)\); di conseguenza, l'immagine non può essere $\RR \setminus \QQ$.

[ViciousGoblin]

"Rigel":Una siffatta funzione non può essere continua (altrimenti avrebbe come immagine tutto $\RR$).
Se ha un punto di discontinuità $x_0$ (necessariamente di tipo salto), nell'immagine manca tutto l'intervallo \( (f(x_0-), f(x_0+)\); di conseguenza, l'immagine non può essere $\RR \setminus \QQ$.

In effetti, come l'avevo detto io , era un po' involuto .

[Rigel1]

@VG:
scusa, è vero, avevi già osservato tu quanto ho scritto io (non avevo letto con attenzione i post precedenti).

[albertobosia]

la mia soluzione era questa:

prendiamo il numero di liovulle \(\displaystyle l=\sum_{k=1}^\infty10^{-k}\)
prendiamo poi il nostro numero \(\displaystyle x=n+\sum_{k=1}^\infty\frac{q_k}{10^k}\) con \(n\in\mathbb Z\).

\(\displaystyle f(x)=n+\sum_{k=1}^\infty\left(10^{-(2k)!}+\frac{q_k}{10^{(2k)!+1}}\right)\)

cioè intervalliamo una cifra di \(x\) e una di \(l\), con qualche zero aggiuntivo in mezzo.

è un po' na schifezza, quella di DMNQ è molto più elegante

[DMNQ]

"albertobosia":per caso intendi
\(\displaystyle f(x)=n+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{{(a_k)}^2+1}{{(3^k)}^2}\)
invece è un'interessante idea, con lo sviluppo base 2
non mi è chiaro come dimostrare l'irrazionalità di quei numeri... c'è qualcosa che mi sfugge?

Ha ragione . Bisogna cambiare un poco la formula .
Se $ x=n+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{a_k}{2^k} $ con $ n in ZZ $ e $ a_k = 0 $ o $1 $
allora $ f(x)=n+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{ a_k+1}{(3^{(k^2)})} $ .
Nell'espressione di $ f(x) $ lo sviluppo base 3 non è periodico e dunque $ f(x) $ è irrazionale .

Ho letto la soluzione che ha data e che mi pare molto bene .

[Rigel1]

Ma se gli $a_k$ sono definitivamente nulli allora $f(x)$ è razionale, o no?

[DMNQ]

"Rigel":Ma se gli $a_k$ sono definitivamente nulli allora $f(x)$ è razionale, o no?

Per esempio se $ x = 0 = 0,0000.....$ ( sviluppo base 2 ) allora $ f(x)=0 +\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{ 0+1}{(3^{(k^2)})} $
cioè $ f(x) = 0,10010000100000010000000010000 .... $ ( sviluppo base 3 non periodico dunque irrrazionale ) .

Ovvero , se $ x = 0,1010000... $ (sviluppo base 2 ) allora $ f(x) = 0,20010000200000001000000001000... $
(sviluppo base 3 non periodico dunque irrazionale ) .

Mi pare giusto Ma finalmente non sono veramente sicuro ????

[Rigel1]

Certo, hai ragione, mi ero perso il $+1$ a numeratore