[ex] $f$ concava $=>$ $f$ sub-additiva

[Gi81]

Sia $f: [0,+oo) -> [0,+oo)$ una funzione concava tale che $f(0)=0$.
Dimostrare che $f$ è sub-additiva.


Definizioni: una funzione $f: I ->RR$ ($I sube RR$ intervallo) è detta
1) concava se per ogni $a, b in I$ e per ogni $lambda in (0,1)$ vale $f(lambda a +(1-lambda)b)>= lambda f(a) +(1-lambda)f(b)$
2) sub-additiva se per ogni $a,b in I$ vale $f(a+b)<=f(a)+f(b)$

[Rigel1]

Puoi usare la concavità e il fatto che \(f(0)=0\) per dimostrare che
\[
f(a) \geq \frac{a}{a+b}\, f(a+b),\qquad
f(b) \geq \frac{b}{a+b}\, f(a+b)\,.
\]

[Gi81]

Sì, la strada è quella.

P.S.: è un esercizio che propongo... so già come si risolve

[Rigel1]

"Gi8":P.S.: è un esercizio che propongo... so già come si risolve

Ach, non avevo capito.