[EX] E' lecito procedere in questo modo?

[ciampax]

Mi è venuta in mente una cosa che potrebbe essere interessante (magari potremmo spostare la discussione in "Pensare un po' di più" se credete che abbia senso discuterne in un certo modo). L'idea mi è venuta leggendo questa discussione: viewtopic.php?f=36&t=126978

Dunque, supponiamo che la sommatoria dia luogo ad una successione $f(n)$ delle sue somme ennesime: possiamo scrivere allora $f(n)=\sum_{k=1}^n (3k-1)^2$. Facciamo ora un abuso: supponiamo di poter riversare questo problema "discreto" in un problema "continuo" per cui poniamo, seguendo una logica abbastanza semplice,
$$f(x)=\int_1^x (3t-1)^2\ dt$$
Ora consideriamo il limite
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^3}$$
Non ci vuole molto a convincersi che tale limite soddisfi tutte le richieste del Teorema di de l'Hopital, per cui derivando otteniamo
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{3x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(3x-1)^2}{3x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{9x^2}{3x^2}=3$$
Il risultato è quello fornito da ciromario nella discussione di cui sopra e vi invito a verificare che è proprio quello corretto.

La domanda (per i pargoli che si avvicinano allo studio dei limiti, a prescindere dai vari tecnicismi usati) è la seguente: è lecito quello che ho fatto? Il valore del limite risulta corretto perché c'è una "base" solida o è semplice magia?

A voi la parola.

[Plepp]

Non mi definirei proprio un pargolo che s'avvicina allo studio dei limiti, per cui metto in spoiler

Ciò che hai fatto è corretto, e rimane tale se si assume la funzione integranda non negativa e debolmente crescente. L'idea di fondo è simile a quella che ispira il Criterio dell'integrale per serie numeriche a termini positivi.

In breve (domani ho l'esame di Analisi III, non posso dilungarmi troppo ), se $\phi: [\nu,+\infty[\to \RR^+$ è debolmente crescente, posto $a_n:=\phi(n)$ per ogni $n\ge \nu$ (facciamo $\nu\in NN$, giusto per evitare seccature nella notazione, ma è lo stesso), per ogni $k\ge \nu$ e per ogni $x\in [k,k+1]$ si ha
\[a_k\le \varphi(x)\le a_{k+1} \]
da cui, integrando tra $k$ e $k+1$,
\[a_k=\int^{k+1}_{k}a_k\,dx\le \int^{k+1}_{k} \varphi(x)\,dx\le \int^{k+1}_{k} a_{k+1}\, dx =a_{k+1} \]
Sommando per $k$ tra $\nu$ e $n$,
\[\sum_{k=\nu}^n a_k \le \sum_{k=\nu}^n\int^{k+1}_{k} \varphi(x)\,dx\le \sum_{k=\nu}^n a_{k+1} \]
ovvero
\[\sum_{k=\nu}^n a_k \le \int^{n+1}_{\nu} \varphi(x)\,dx\le -a_\nu +\sum_{k=\nu}^n a_{k} \]
Dividendo per $n^\alpha$, $\alpha>0$, disuguaglianze restano inalterate, e dalla relazione che si ottiene si deduce che
\[\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\sum_{k=\nu}^n a_k}{n^\alpha} =\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\int^{n}_{\nu} \varphi(x)\,dx}{n^\alpha}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\int^{x}_{\nu} \varphi(t)\,dt}{x^\alpha}\]
(dopo aver osservato che entrambi i limiti esistono)

Bella idea

[ciampax]

Bravo! Rilancio con una domanda: questa cosa può essere collegata al teorema Ponte, cioè al teorema che afferma che il $\lim_{x\to x_0} f(x)=l$ esiste se per ogni successione $a_n\to x_0$ si ha $\lim_{x\to+\infty} f(a_n)=l$? Se sì, come?

[oslinux]

Chiedo scusa, il mio livello ad analisi è sotto la sufficienza di analisi 1 e non azzardo risposte alla domanda che hai fatto ma ciampax, perché parli di abuso nel passaggio tra sommatoria e integrale? Mi pareva che in effetti l'integrale fosse una sommatoria particolare, o sbaglio? è sempre possibile la conversione da sommatoria a integrale definito?

EDIT: ho come l'impressione che lo spoiler risponda a questa domanda, ma non seguo il ragionamento

[ciampax]

In realtà quando si dice che l'integrale è una sommatoria estesa a valori continui, un po' si dice il vero, un po' si abusa. Il senso è vicino a quello che ha scritto Plepp e che risiede nel modo in cui si definisce l'integrale di Riemann attraverso le somme inferiori e quelle superiori: non è sempre vero, infatti, che queste due classi abbiano il sup della prima che coincide con l'inf della seconda. Se ciò accade, allora si può definire correttamente l'integrale di una funzione.

[_fabricius_1]

Nel messaggio iniziale andrebbero usati due simboli diversi per la f definita sugl'interi positivi e quella "continua", dal momento che non sono una un'estensione dell'altra. (Secondo la definizione con sommatoria $f(1)=4$, secondo quella con integrale $f(1)=0$)
Altrimenti ci si confonde.

[ciampax]

"_fabricius_":Nel messaggio iniziale andrebbero usati due simboli diversi per la f definita sugl'interi positivi e quella "continua", dal momento che non sono una un'estensione dell'altra. (Secondo la definizione con sommatoria $f(1)=4$, secondo quella con integrale $f(1)=0$)
Altrimenti ci si confonde.

Ma davvero fai? Cioè, qua ci stiamo ad interrogare sulla natura degli integrali e tu noti sta cosa? Ammazza, pignolo! (No, dai, scherzo!)

[Plepp]

@ciampax: nemmeno io riesco a trovare un collegamento. Ci dici di cosa si tratta?