[EX] - Altro limite integrale

[Sk_Anonymous]

Questa è la serata dei limiti con integrali annessi

Chiedo conferma intorno a questo, ché temo di nuovo che ci siano errori nel testo, che è il seguente:

Provare che \[\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\pi} \int^{r}_{-r} \frac{\epsilon}{\epsilon^{2} + x^{2}} \ dx = 1 \quad \forall r > 0 \]
Svolgimento:
Questo punto son sicuro di averlo fatto bene: \[\displaystyle \int^{r}_{-r} \frac{\epsilon}{\epsilon^{2} + x^{2}} \ dx=\int^{r}_{-r} \frac{1/\epsilon}{1 + (\frac{x}{\epsilon})^{2}} \ dx=\arctan(r/ \epsilon) - \arctan(-r / \epsilon) \]
passando quindi al limite ottengo \[\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\pi} \left[ \arctan(r / \epsilon) - \arctan(-r / \epsilon) \right]=\frac{1}{\pi} \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right]=1 \]

Il secondo punto, invece, reca:

Da questo dedurre che se \(\displaystyle f \in \mathcal{C}([-1,1]) \), allora \[\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\pi} \int_{-r}^{r} \frac{\epsilon}{\epsilon^{2} + x^{2}} f(x) \ dx=f(0) \]

Domande: in primo luogo non dovrebbe essere \(\displaystyle f(x) \in \mathcal{C}([-r,r]) \)? E, se così fosse, da dove salta fuori quel \(\displaystyle f(0) \)?
Più semplice sarebbe se fosse \(\displaystyle f=f(\epsilon) \)...

[gugo82]

Ovviamente è \(f\in C([-r,r])\), non ci piove.

Per quanto riguarda il resto, nota che:
\[
f(0)= f(0)\cdot 1= \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\pi}\ \int_{-r}^r \frac{\varepsilon}{\varepsilon^2 +x^2}\ f(0)\ \text{d} x
\]
quindi:
\[
\left| \int_{-r}^r \frac{\varepsilon}{\varepsilon^2 +x^2}\ f(x)\ \text{d} x - f(0)\right| \leq \frac{1}{\pi}\ \int_{-r}^r \frac{\varepsilon}{\varepsilon^2 +x^2}\ |f(x)-f(0)|\ \text{d} x
\]
e puoi provare a proseguire con l'uniforme continuità o qualcosa del genere...