Estremo inferiore

[delbi]

Buonasera ho questi due problemi sul calcolo dell'estremo inferiore di un insieme:
determnare l'inf di $z=x+1/x$ per$x>0$
determinare l'inf di $z=2^x+2^(1/x)$ per $x>0$
consigli?

[axpgn]

Per entrambi puoi fare questo ragionamento ...

Se $x=1$ gli addendi sono uguali, se $x=2$ abbiamo $2+1/2$, se $x=1/2$ abbiamo $1/2+2$ cioè la stessa cosa, quindi la funzione è simmetrica (non è la parola giusta ma adesso non mi viene altro ) rispetto a $1$ dove avremo il minimo.

Cordialmente, Alex

[gugo82]

Beh, per il primo puoi usare la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, i.e.:
\[
\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\;,
\]
valida per ogni $a,b>=0$ con uguaglianza se e solo se $a=b$. (Questa disuguaglianza si dimostra facilmente, con un po’ di calcolo letterale ed un fetentissimo quadrato di binomio).
Infatti per $x>0$ hai:
\[
\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x\ \frac{1}{x}} \iff x + \frac{1}{x} \geq 2
\]
con uguaglianza se e solo se $x=1/x$, ossia se $x=1$. Dunque \(\inf \{ x + \frac{1}{x},\ x>0\} = 2\) e l’estremo inferiore è un minimo.

La stessa disuguaglianza fornisce un risultato analogo per il secondo problema: l’estremo inferiore dovrebbe essere $4$ ed un minimo per il secondo insieme.

[dissonance]

"axpgn":la funzione è simmetrica (non è la parola giusta ma adesso non mi viene altro ) rispetto a $1$ dove avremo il minimo.

Avrei detto "la funzione è simmetrica rispetto all'inversione \(x\mapsto \frac1x\)", nel senso che, detta
\[
f(x)=x+\frac1x,\qquad x>0, \]
si ha che
\[\tag{*}
f\left(\frac1x\right)=f(x).\]
La tua è una bella osservazione, ma non sono proprio sicuro sicuro che la sola proprietà (*) implichi che il minimo sia in \(1\). Sarebbe bello dimostrarlo formalmente.

P.S.: E infatti è falso, per esempio, ponendo
\[
g(x):=(x-\tfrac12)^2, \]
e
\[
f(x):=\begin{cases}
g(x), & x\in (0, 1), \\
g\left(\frac1x\right)=\left(\frac1x - \frac12\right)^2, & x\in [1, \infty), \end{cases}
\]
si ottiene una funzione simmetrica rispetto all'inclusione e che ha minimo \(0\), assunto in \(x=\frac12\) e \(x=2\), e massimo \(1/4\), assunto in \(x=0\) e \(x=1\).

[axpgn]

Avevo lo stesso dubbio ma solo per il secondo, chissà perché