Estremi vincolati

[melli13]

Siano $f(x,y)=x$ e $g(x,y)=y^2-x^3$. Si mostri che $(0,0)$ è di minimo per $f$ vincolato a $g(x,y)=0$, ma che non è critico per f.

Stavo risolvendo questo esercizio, ma ho incontrato qualche difficoltà. Innanzitutto non posso applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange perchè $M={(x,y) in RR^2: g(x,y)=(0,0)}$ non è una varietà giusto?
Il libro consiglia poi di usare il metodo delle curve di livello, ma io non ho proprio capito come si fa. Potreste aiutarmi a capire?
Grazie mille

[melli13]

Allora il metodo delle curve di livello l'ho capito...se rappresento $g(x,y)=0$ sul piano e lo interseco con le rette $x=c$ posso osservare che il minimo si ottiene per $c=0$. Adesso come dimostro che non è critico per f?

[stormy1]

$g(x,y)=0$ sulla curva $x=root(3)(y^2)$
su questa curva $x geq 0$ quindi $f(x,y)$ assume minimo $0$ in $(0,0)$
d'altronde,$f_x=1,f_y=0$ e quindi l'origine non è punto critico

[melli13]

Ah giusto..grazie !! Ma è vero che qui non si può applicare il metodo di Lagrange? Perchè M non è una varietà?