Estremi funzione a due variabili
[tex]log(1+x^2y^2)[/tex]
A me risulta che i punti estremanti siano dati dal seguente sistema:
[tex]\left\{\begin{matrix}
2xy^2=0\\1+x^2y^2=0
\\2x^2y=0
\\1+x^2y^2=0
\end{matrix}\right.[/tex]
I calcoli li ho verificati tramite Derive.
Dai numeratori ricaverei che la soluzione si ha per [tex]x=0[/tex] oppure per [tex]y=0[/tex]
Ma i denominatori non hanno soluzioni.
Posso dire che la funzione non è dotata di punti estremanti?
A me risulta che i punti estremanti siano dati dal seguente sistema:
[tex]\left\{\begin{matrix}
2xy^2=0\\1+x^2y^2=0
\\2x^2y=0
\\1+x^2y^2=0
\end{matrix}\right.[/tex]
I calcoli li ho verificati tramite Derive.
Dai numeratori ricaverei che la soluzione si ha per [tex]x=0[/tex] oppure per [tex]y=0[/tex]
Ma i denominatori non hanno soluzioni.
Posso dire che la funzione non è dotata di punti estremanti?
Risposte
Per scrivere correttamente il sistema usa il comando \frac{} in TeX:
[tex]\left\{\begin{matrix}\frac{2xy^2}{1+x^2y^2}=0
\\ \frac{2x^2y}{1+x^2y^2}=0
\end{matrix}\right.[/tex]
Oppure, se vuoi una sintassi più semplice puoi usare ASCIIMathML. Consulta la pagina formule per istruzioni.
[tex]\left\{\begin{matrix}\frac{2xy^2}{1+x^2y^2}=0
\\ \frac{2x^2y}{1+x^2y^2}=0
\end{matrix}\right.[/tex]
Oppure, se vuoi una sintassi più semplice puoi usare ASCIIMathML. Consulta la pagina formule per istruzioni.
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Hai ragione, l'ho scritto frettolosamente, però.....un aiuto....potevi anche darmelo......
Hai ragione, l'ho scritto frettolosamente, però.....un aiuto....potevi anche darmelo......
Emh....no...ho sbagliato io come al solito, il sistema ammette come soluzioni: [tex]x=0[/tex] e [tex]y=0[/tex]
Ovviamente l'hessiano viene negativo, sennò non siamo contenti.......
Quindi ora devo studiare localmente la funzione in un intorno di (0,0)..................
Ovviamente l'hessiano viene negativo, sennò non siamo contenti.......
Quindi ora devo studiare localmente la funzione in un intorno di (0,0)..................
Ma no. Le soluzioni di quel sistema sono tutti i punti $(x, 0)$ e $(0, y)$, ovvero l'asse delle $x$ e delle $y$. Per rendertene conto fai la prova: vedi per esempio che $(1, 0)$ verifica il sistema?
Perchè?
Le soluzioni non dovrebbero essere solo x=0 e y=0?
Non ho capito.
Anche il Derive dice così.....vabbè che è una macchina....
Le soluzioni non dovrebbero essere solo x=0 e y=0?
Non ho capito.
Anche il Derive dice così.....vabbè che è una macchina....
Le soluzioni sono coppie di numeri, oggetti di tipo $(x, y)$. Tu ne hai trovata una ed è $(0,0)$, ma ce ne sono altre.
Dalla prima frazione ho soluzioni solo per il numeratore, cioè x=0 oppure y=0, mentre il denominatore non ha soluzioni.
Lo stesso vale per l'altra frazione.
Quindi siccome ho due soluzione, x= o OPPURE y=0 devo considerare [tex]A(0,\alpha)[/tex] e [tex]B(\alpha,0)[/tex] Sbagliavo questo vero?
Lo stesso vale per l'altra frazione.
Quindi siccome ho due soluzione, x= o OPPURE y=0 devo considerare [tex]A(0,\alpha)[/tex] e [tex]B(\alpha,0)[/tex] Sbagliavo questo vero?
Si, le soluzioni sono giuste ma c'è un errore concettuale molto grande. Che cosa vuoi dire con "il denominatore non ha soluzioni"? Tu per risolvere $\frac{"numeratore"(x)}{"denominatore"(x)}=0$ che fai, risolvi separatamente $"numeratore"(x)=0, "denominatore"(x)=0$? Guarda che è sbagliatissimo.
Bè, l'hessiano viene sempre 0 in quei punti, perchè ho dei prodotti.
Ho pensato di considerare la funzione, e vedere come diventa sostituendo quei punti.
Dovrebbe diventare [tex]log1[/tex]
che non è mai maggiore di 0 nè minore......quindi potrei dire per entrambi i punti che sono di sella?
Ho pensato di considerare la funzione, e vedere come diventa sostituendo quei punti.
Dovrebbe diventare [tex]log1[/tex]
che non è mai maggiore di 0 nè minore......quindi potrei dire per entrambi i punti che sono di sella?
Tutto sbagliato. Ma prima di parlare di questo io ti stavo facendo notare che sospetto tu abbia delle gravi lacune riguardo i sistemi di equazioni, e ti consiglio di prendere il libro di scuola superiore e ristudiarteli per bene altrimenti vai incontro ad errori.
Comunque. Abbiamo capito che i punti critici di questa funzione $f(x, y)$ sono l'asse delle $x$ e l'asse delle $y$. Ora bisogna capire la natura di questi punti critici: la risposta è che sono tutti punti di minimo assoluto. A te riflettere su questo e giustificarlo. Non c'è bisogno di usare Hessiani né altri strumenti avanzati, e neanche c'è bisogno di fare conti, solo riflettere un po' sulla funzione $log$.
Comunque. Abbiamo capito che i punti critici di questa funzione $f(x, y)$ sono l'asse delle $x$ e l'asse delle $y$. Ora bisogna capire la natura di questi punti critici: la risposta è che sono tutti punti di minimo assoluto. A te riflettere su questo e giustificarlo. Non c'è bisogno di usare Hessiani né altri strumenti avanzati, e neanche c'è bisogno di fare conti, solo riflettere un po' sulla funzione $log$.
Ma quindi, cioè il sistema non si risolve in quel modo?
Cioè non è giusto nemmeno che le soluzioni le ho praticamente solo dal numeratore?
Uffa.......
Non sto capendo esattamemente cosa considerare, la funzione logaritmo sulla base dei punti che abbiamo trovato?
Dovrebbe diventare [tex]log1[/tex] o sbaglio?
Anche quando on capisco come stabiliro sul grafico.............di tutti i punti che posso trovare come faccio a stabilire come sono basandomi sul grafico.....
In quel caso il logaritmo dovrebbe essere decrescente.....quindi....ogni x che prendo, per [tex](\alpha,0)[/tex] e y per [tex](\alpha,0)[/tex] Otterrò sempre dei punti di minimo.....basando mi sul grafico del logaritmo decrescente?
Cioè non è giusto nemmeno che le soluzioni le ho praticamente solo dal numeratore?
Uffa.......
Non sto capendo esattamemente cosa considerare, la funzione logaritmo sulla base dei punti che abbiamo trovato?
Dovrebbe diventare [tex]log1[/tex] o sbaglio?
Anche quando on capisco come stabiliro sul grafico.............di tutti i punti che posso trovare come faccio a stabilire come sono basandomi sul grafico.....
In quel caso il logaritmo dovrebbe essere decrescente.....quindi....ogni x che prendo, per [tex](\alpha,0)[/tex] e y per [tex](\alpha,0)[/tex] Otterrò sempre dei punti di minimo.....basando mi sul grafico del logaritmo decrescente?
E' giusto che le soluzioni "le hai solo dal numeratore". Infatti, è sempre così. Se il denominatore si annulla in un punto, quella non è una soluzione ma un punto in cui l'equazione non ha proprio senso. Per esempio, secondo te quali sono le soluzioni di $1/x=0$? Se ti viene da rispondere $x=0$, allora è il caso di un ripasso della teoria delle equazioni.
Poi. Continui a ripetere $log1$. Ma $log1=0$, quindi vediamo di chiamarlo con il suo nome. Ora riscriviamo la funzione $f(x, y)=log(1+x^2y^2)$. Quando $(x, y)\in{(alpha, 0)\ \alpha\inRR}uu{(0, beta)\ \beta\inRR}$, i punti critici, la funzione si annulla. E negli altri punti? Quale è il segno di $f(x, y)$ negli altri punti?
Poi. Continui a ripetere $log1$. Ma $log1=0$, quindi vediamo di chiamarlo con il suo nome. Ora riscriviamo la funzione $f(x, y)=log(1+x^2y^2)$. Quando $(x, y)\in{(alpha, 0)\ \alpha\inRR}uu{(0, beta)\ \beta\inRR}$, i punti critici, la funzione si annulla. E negli altri punti? Quale è il segno di $f(x, y)$ negli altri punti?
E negli altri punti? Quale è il segno negli altri punti?
Mi risulterebbe......positiva per x e y diversi da 0.
Visto che già di cose ne ho inventate tante, me ne sapro un' altra
Forse.....dato che in quei punti la funzione si annulla e negli altri è positiva, dovrei dedurre che quei punti saranno di minimo assoluto?
Esatto. Per la funzione $f$ l'unione dell'asse delle $x$ e dell'asse delle $y$ è un insieme di punti di minimo assoluto. Questo era un esercizio molto semplice a livello di calcoli ma che richiedeva una cospicua dose di ragionamento, più che l'applicazione di metodi standard.
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