Estremi e limiti - Aiuto!!!
Ciao a tutti, so che per una studentessa universitaria queste cose dovrebbero essere semplicissime 
, purtroppo però per me non lo sono, in matematica non sono mai stata molto brava 
, ora però è arrivato il momento di dare matematica generale, volevo chiedervi alcune delucidazioni su un paio di cose, che per voi saranno semplicissime, se magari oltre a risolverle me le spiegate ve ne sarei grata 
.
Come potrei scomporre questo limite ? Ho provato con de l'hopital ma non riesco a completarlo, arrivo ad una funzione lunghissima che non riesco a sistemare
$\lim_{n \to \3}$$(sqrt(X^2-3X+2)-sqrt(2X-4))/(sqrt(X^2-4X+3))$
e poi se qualcuno ha voglia di spiegarmi come si calcolano gli estremi relativi di una funzione in una variabile reale, che non riesco proprio a capire, per esempio di una funzione:
$f(x)=(4X^2+1)/(X^2-2X+1)$
Vi ringrazio a tutti
, purtroppo però per me non lo sono, in matematica non sono mai stata molto brava , ora però è arrivato il momento di dare matematica generale, volevo chiedervi alcune delucidazioni su un paio di cose, che per voi saranno semplicissime, se magari oltre a risolverle me le spiegate ve ne sarei grata . Come potrei scomporre questo limite ? Ho provato con de l'hopital ma non riesco a completarlo, arrivo ad una funzione lunghissima che non riesco a sistemare
$\lim_{n \to \3}$$(sqrt(X^2-3X+2)-sqrt(2X-4))/(sqrt(X^2-4X+3))$
e poi se qualcuno ha voglia di spiegarmi come si calcolano gli estremi relativi di una funzione in una variabile reale, che non riesco proprio a capire, per esempio di una funzione:
$f(x)=(4X^2+1)/(X^2-2X+1)$
Vi ringrazio a tutti
Risposte
Benvenuta.
Ti mostro una strada per calcolare il limite:
\[\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 3x + 2} - \sqrt{2x-4}}{\sqrt{x^2 -4x + 3}}=\lim_{ x \to 3^{+}} \frac{x^2 -5x +6}{(\sqrt{x^2 - 4x +3}) \cdot (\sqrt{x^2 -3x + 2} + \sqrt{2x - 4})}= \]
\[\displaystyle = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x-2)(x-3)}{\sqrt{x-1} \sqrt{x-3} \sqrt{x-2}(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{\sqrt{x-2} \sqrt{x-3}}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}\]
da cui dovresti facilmente poter concludere.
Spero di non aver fatto errori di calcolo, vista la tarda ora.
Quanto alla seconda richiesta, credo ti serva la teoria delle derivate.
Ti consiglio infine di leggere un po' il regolamento: il titolo di questo topic ne viola un punto.
Ti mostro una strada per calcolare il limite:
\[\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 3x + 2} - \sqrt{2x-4}}{\sqrt{x^2 -4x + 3}}=\lim_{ x \to 3^{+}} \frac{x^2 -5x +6}{(\sqrt{x^2 - 4x +3}) \cdot (\sqrt{x^2 -3x + 2} + \sqrt{2x - 4})}= \]
\[\displaystyle = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x-2)(x-3)}{\sqrt{x-1} \sqrt{x-3} \sqrt{x-2}(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{\sqrt{x-2} \sqrt{x-3}}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}\]
da cui dovresti facilmente poter concludere.
Spero di non aver fatto errori di calcolo, vista la tarda ora.
Quanto alla seconda richiesta, credo ti serva la teoria delle derivate.
Ti consiglio infine di leggere un po' il regolamento: il titolo di questo topic ne viola un punto.
"Claretta89":
$f(x)=(4X^2+1)/(X^2-2X+1)$
Per determinare gli estremi relativi di questa funzione dovresti specificare anche l'intervallo su cui questa è definita. A seconda dei casi si procede con uno studio di funzione più o meno approfondito. In questo caso procederei come segue:
$f$ non è definita per $x = 1$, quindi cerco gli estremi relativi in $Dom(f) = (-oo, 1) uu (1 , +oo)$.
Imposto quindi l'equazione $f'(x) = 0$ e trovo l'insieme $X$ degli zeri della derivata prima. Il teorema di Fermat mi assicura che se ci sono punti interni (non di frontiera, attenzione) al dominio di definizione in cui la funzione presenta un estremo locale, lì la derivata prima si annulla; quindi $X$ contiene tutti i punti di estremo relativo interni al dominio.
Mediante uno studio del segno della derivata prima studio la natura dei punti di $X$ e, in particolare, scarto i punti di flesso a tangente orizzontale.
In un secondo momento cerco di capire cosa succede agli estremi del dominio $-oo$, $+oo$ e $1$.
Grazie ad entrambi, gentilissimi 
e non è che mi dareste anche un aiuto su come si risolvono le equazioni con sin, ln, cos ecc ?!?! grazie
per esempio qualcuno mi potrebbe spiegare i passaggi necessari a risolvere questi due limiti??
$\lim_{n \to \0}$$(sin3X-sinX)/(ln(X+1))$
$\lim_{n \to \0}$$(sinX+X)/(tgX+X)$
Grazie ancora, e scusate il disturbo
e non è che mi dareste anche un aiuto su come si risolvono le equazioni con sin, ln, cos ecc ?!?!
grazie per esempio qualcuno mi potrebbe spiegare i passaggi necessari a risolvere questi due limiti??
$\lim_{n \to \0}$$(sin3X-sinX)/(ln(X+1))$
$\lim_{n \to \0}$$(sinX+X)/(tgX+X)$
Grazie ancora, e scusate il disturbo
"Claretta89":
e non è che mi dareste anche un aiuto su come si risolvono le equazioni con sin, ln, cos ecc ?!?!
Forse volevi scrivere "limiti", perché di equazioni non ne vedo.
$\lim_{x \to \0} (sin(3x)-sin(x))/(ln(x+1))$
$\lim_{x \to \0} (sin(x)+x)/(tan(x)+x)$
Comincia dividendo per $x$ sia a numeratore che a denominatore e prova a vedere se, per caso, ti salta all'occhio qualche limite notevole.
Per quanto riguarda la seconda calcoli la derivata $f'(x)=(8x(x-1)^2-2(4x^2+1)(x-1))/(x-1)^4$ nella quale raccogli il termine $(x-1)$ e ottieni: $((x-1)[8x(x-1)-2(4x^2+1)])/(x-1)^4\implies ((x-1)(-8x-2))/(x-1)^4>0$ che è vera per $x>1$ oppure per $x<-1/4$.
Una volta ottenuti i risultati puoi dedurre l'andamento del grafico (decrescente da $-\infty$ fino a $-1/4$, crescente fino a $1^-$, decrescente da $1^+$ fino a $+\infty$ con minimo relativo in $-1/4$)
Una volta ottenuti i risultati puoi dedurre l'andamento del grafico (decrescente da $-\infty$ fino a $-1/4$, crescente fino a $1^-$, decrescente da $1^+$ fino a $+\infty$ con minimo relativo in $-1/4$)
"Claretta89":
e poi se qualcuno ha voglia di spiegarmi come si calcolano gli estremi relativi di una funzione in una variabile reale, che non riesco proprio a capire, per esempio di una funzione:
$f(x)=(4X^2+1)/(X^2-2X+1)$
Vi ringrazio a tutti
Intervengo anche io per vedere se ho capito:
ricapitoliamo la funzione in oggetto non esiste in $x=1$
il limite, sia destro che sinistro per $x->1$ dovrebbe essere $+oo$
poi per $x->(+/-)oo$ io avrei detto che il limite vale 4, sbaglio?
@gio73: Non sbagli.
"Seneca":
[quote="Claretta89"]e non è che mi dareste anche un aiuto su come si risolvono le equazioni con sin, ln, cos ecc ?!?!
Forse volevi scrivere "limiti", perché di equazioni non ne vedo.
$\lim_{x \to \0} (sin(3x)-sin(x))/(ln(x+1))$
$\lim_{x \to \0} (sin(x)+x)/(tan(x)+x)$
Comincia dividendo per $x$ sia a numeratore che a denominatore e prova a vedere se, per caso, ti salta all'occhio qualche limite notevole.[/quote]
Si si parlavo di limiti, scusate
Ora con la tavola dei limiti notevoli sto cominciando a risolverli, il primo dovrebbe venire 2 il secondo 1. Grazieee !!!!!!!!!!!!
Facendone altri mi sono imbattuta in un altro limite con cui sto facendo un po di confusione:
$\lim_{x \to \0} (1-cos^3(x))/(Xsen2X)$
dividendo num e den per $X^2$ al denominatore fa 2 ma il numeratore poi come faccio a scomporlo? Grazie
Grazie a tutti, davvero Gentili
I primi due sono giusti. Per il terzo puoi notare che:
$A^3 - B^3 = ( A - B ) ( A^2 + AB + B^2 )$
$A^3 - B^3 = ( A - B ) ( A^2 + AB + B^2 )$
allora, svolgendo quell'uguaglianza e poi dividendo per X arrivo a $((1-cosx)/X(1+cosx+cos^2X)/x)/((xsen2x)/x)$ quindi $((1+cosx+cos^2X)/X)/((xsen2x)/x)$
ora posso moltiplicare ancora den e num per $1/X$ arrivando ad avere 2 a denominatore così poi sostituendo arrivo a $0/2=0$ è giusto o sbaglio qualcosa? Grazie!
ora posso moltiplicare ancora den e num per $1/X$ arrivando ad avere 2 a denominatore così poi sostituendo arrivo a $0/2=0$ è giusto o sbaglio qualcosa? Grazie!
Mmh, hai sbagliato... A numeratore hai diviso per $x^2$ mentre a denominatore per $x$. Scrivi così:
$lim_(x -> 0) (1 - cos(x) )/(x sin(2x) ) * (1 + cos(x) + cos^2(x)) = $
$= lim_(x -> 0) ((1 - cos(x) )/x^2)/((x sin(2x))/x^2 ) * (1 + cos(x) + cos^2(x))$
$= lim_(x -> 0) ((1 - cos(x) )/x^2)/((sin(2x))/x ) * (1 + cos(x) + cos^2(x))$
$lim_(x -> 0) (1 - cos(x) )/(x sin(2x) ) * (1 + cos(x) + cos^2(x)) = $
$= lim_(x -> 0) ((1 - cos(x) )/x^2)/((x sin(2x))/x^2 ) * (1 + cos(x) + cos^2(x))$
$= lim_(x -> 0) ((1 - cos(x) )/x^2)/((sin(2x))/x ) * (1 + cos(x) + cos^2(x))$
si vero, arrivati a quel punto, visto che è un limite notevole viene $(1/2(1+cosx+cos^2x))/2$ sostituisco x con 0, $cosx$ e $cos^2x$ dovrebbero essere 1 quindi il risultato è $3/4$ , ora è giusto? GRazie
Sì, va bene...
Grazie Mille !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 
Un altro problemino con la ricerca degli estremi 
Come posso trovare gli estremi di questa funzione?
f(x)=$sqrt(6+5x-x^2)$ , dopo aver trovato la derivata $1/(2sqrt(6+5x-x^2))$ come faccio a trovare gli estremi? grazie
e poi un altro problema con i limiti, non riesco a trovare la soluzione di questo limite:
$\lim_{n \to \0}$$(3sinx)/(x^3+sin^2x)$
Come posso trovare gli estremi di questa funzione?
f(x)=$sqrt(6+5x-x^2)$ , dopo aver trovato la derivata $1/(2sqrt(6+5x-x^2))$ come faccio a trovare gli estremi? grazie
e poi un altro problema con i limiti, non riesco a trovare la soluzione di questo limite:
$\lim_{n \to \0}$$(3sinx)/(x^3+sin^2x)$
"Claretta89":Non è quella la derivata, manca qualcosa.
f(x)=$sqrt(6+5x-x^2)$ , dopo aver trovato la derivata $1/(2sqrt(6+5x-x^2))$ come faccio a trovare gli estremi?
In generale, la derivata di $sqrt(g(x))$ è $1/(2*sqrt(g(x)))* g'(x)$ (trattasi di composizione di funzioni)
"Claretta89":
Un altro problemino con la ricerca degli estremi
Come posso trovare gli estremi di questa funzione?
f(x)=$sqrt(6+5x-x^2)$
Non sono sicura di aver compreso la domanda, quando parli di estremi ti riferisci al Campo di Esistenza?
In caso affermativo devi porre il radicando$>=0$
di conseguenza $-x^2+5x+6>=0$
se e questa la domanda si può risolvere la disequazione, altrimenti mi dispiace per il tempo che ti ho fatto perdere...
"gio73":
Non sono sicura di aver compreso la domanda, quando parli di estremi ti riferisci al Campo di Esistenza?
In caso affermativo devi porre il radicando$>=0$
di conseguenza $-x^2+5x+6>=0$
se e questa la domanda si può risolvere la disequazione, altrimenti mi dispiace per il tempo che ti ho fatto perdere...
Grazie
Io dovrei trovare anche i massimi e i minimi, non è che mi diresti qual'è la derivata di quella funzione?
"Claretta89":
Grazie
Io dovrei trovare anche i massimi e i minimi, non è che mi diresti qual'è la derivata di quella funzione?
Mi sembra che G8 ti abbia già dato delle indicazioni a riguardo, prova ad applicarle e vediamo ok?
Quindi la derivata è questa? $(-2x+5)/(2sqrt(6+5x-x^2))$
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