Estremi di integrazione integrali curvilinei

[^Tipper^1]

Ciao, ho da risolvere $int_(gamma)(x+y)$, dove $gamma$ è una parametrizzazione del triangolo di vertici $A(1,0)$, $B(0,1)$, $O(0,0)$. Non capisco gli estremi di integrazione per $int_(gamma_3)f$. Come estremi di integrazione pensavo si dovessero prendere le ascisse dei punti, ma a quanto pare non è così; infatti, sia il punto $O$ sia il punto $B$ hanno ascissa $=0$. Come fa quindi a scrivere $int_0^1(1-t)dt$? Grazie



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[Sk_Anonymous]

Gli estremi di integrazione sono espressi nella variabile $t$ che hai usato per parametrizzare, non è detto che quest'ultima debba coincidere con la $x$ o la $y$.

[^Tipper^1]

Come determino allora gli estremi di integrazione?

[Luca.Lussardi]

$\gamma_3 : [0,1] \to \RR^2$... gli estremi sono già scritti se scrivi correttamente la parametrizzazione dell'arco interessato.

[^Tipper^1]

Perché $\gamma_3 : [0,1] \to \RR^2$?

[Sk_Anonymous]

Dipende dalla parametrizzazione. Una curva ha infinite parametrizzazioni. Solitamete, quando hai un segmento, si ricava una variabile in funzione dell'altra utilizzando l'equazione della retta alla quale appartiene il segmento. Per esempio:

$(2x+5y-3=0) rarr (y=-2/5x+3/5) rarr \{(x=t),(y=-2/5t+3/5):}$

ma anche:

$(2x+5y-3=0) rarr (x=-5/2y+3/2) rarr \{(x=-5/2t+3/2),(y=t):}$

Quindi, utilizzando i dati dell'esercizio, nel primo caso consideri l'intervallo di variazione della $x$, nel secondo della $y$.

[Luca.Lussardi]

Se devi parametrizzare il segmento $BO$ con una funzione $\gamma_3 : [a,b] \to \RR^2$ la cosa più facile è scegliere $\gamma_3(t)=(0,f(t))$ per una certa $f$, con $t \in [0,1]$. Dunque $f : [0,1] \to \RR$, e deve essere tale che $f(0)=1$ e $f(1)=0$, inoltre devi percorrere il segmento $BO$ una volta sola, da cui la scelta effettuata $f(t)=1-t$.

[^Tipper^1]

Grazie a tutti.

[Sk_Anonymous]

Solo per completezza. Quando dicevo che la variabile $t$ potrebbe non coincidere con una delle coordinate, considera questo classico esempio:

$x^2+y^2=R^2$

$\{(x=Rcost),(y=Rsent):}$

$0<=t<2\pi$

[^Tipper^1]

Ho provato a fare questo esercizio. È giusta l'impostazione?

$int_(gamma)(x^4-y^3)/(x^2+y^2)ds$, dove $gamma$ è la curva il cui sostegno è il segmento $y=4x, 0<=x<=1$.

Ho scritto $gamma(t)=(t.4t), 0<=t<=1$. $||gamma'(t)||=sqrt17$.

$int_0^1(t^4-64t^3)/(17t^2)sqrt17 dt$

Grazie.

[yellow2]

Come hai calcolato la derivata?

[^Tipper^1]

Nel messaggio prrecedente volveo scrivere la norma.

$gamma(t)=(t,4t)$

$gamma'(t)=(1,4)

[yellow2]

Sì l'ho capito in ritardo.
Mi sembra corretto. Ed è anche facile da calcolare.

[Sk_Anonymous]

Ne confermo la correttezza.

[^Tipper^1]

Grazie ancora.

[ciampax]

Sì.