Esponenziale con esponente irrazionale
Salve! ....è un pò che non vengo su Matematicamente.
Volevo come sempre un vosto parere su una cosa che a me appare assai strana.
Avendo una funzione esponnenziale $a^x$ si dice che il dominio della funzione esponenziale $exp$ è reale ossia $x in IR$.
Ora .... con $x$ naturale sò calcolare banalmente $exp_a(x)$ ossia $a^x$, con $x$ intero negativo anche, con $x$ razionale uso la formula apposita.
Ma se $exp$ è una funzione reale, allora dovrà accettare anche valori irrazionali per la $x$.
Il fatto è che non ho minimamente capito come giustificare e calcolare una cosa del tipo $exp_a(pi)$ ossia $a^(pi).
Come si fa?
Volevo come sempre un vosto parere su una cosa che a me appare assai strana.
Avendo una funzione esponnenziale $a^x$ si dice che il dominio della funzione esponenziale $exp$ è reale ossia $x in IR$.
Ora .... con $x$ naturale sò calcolare banalmente $exp_a(x)$ ossia $a^x$, con $x$ intero negativo anche, con $x$ razionale uso la formula apposita.
Ma se $exp$ è una funzione reale, allora dovrà accettare anche valori irrazionali per la $x$.
Il fatto è che non ho minimamente capito come giustificare e calcolare una cosa del tipo $exp_a(pi)$ ossia $a^(pi).
Come si fa?
Risposte
scrivi $\pi$ come elemento separatore delle due classi razionali $C_1=Q\cap(-\infty,\pi)$ e $C_2=Q\cap(\pi,\infty)$
dunque in $C_1$ e $C_2$ sai calcolare l'esponenziale. Ora definisci $\varepsilon_1= $sup${a^x,x\inC_1}$ e $\varepsilon_2= $inf${a^x,x\inC_2}$. Accade il miracolo che $\varepsilon_1=\varepsilon_2$. E quello è per definizione $a^{\pi}$. In maniera analoga si definisce la potenza con esponente irrazionale qualsiasi.
dunque in $C_1$ e $C_2$ sai calcolare l'esponenziale. Ora definisci $\varepsilon_1= $sup${a^x,x\inC_1}$ e $\varepsilon_2= $inf${a^x,x\inC_2}$. Accade il miracolo che $\varepsilon_1=\varepsilon_2$. E quello è per definizione $a^{\pi}$. In maniera analoga si definisce la potenza con esponente irrazionale qualsiasi.
"ubermensch":
scrivi $\pi$ come elemento separatore delle due classi razionali $C_1=Q\cap(-\infty,\pi)$ e $C_2=Q\cap(\pi,\infty)$
dunque in $C_1$ e $C_2$ sai calcolare l'esponenziale. Ora definisci $\varepsilon_1= $sup${a^x,x\inC_1}$ e $\varepsilon_2= $inf${a^x,x\inC_2}$. Accade il miracolo che $\varepsilon_1=\varepsilon_2$. E quello è per definizione $a^{\pi}$. In maniera analoga si definisce la potenza con esponente irrazionale qualsiasi.
Ottima spiegazione, aggiungerei che dimostrare l'irrazionalità o la trascendenza di numeri nella forma $a^x$ con $a$ intero e $x$ irrazionale risulta in molti casi difficilissimo, il primo a formulare il problema fu Hilbert tanto è che $2^(sqrt(2))$ è detto numero di Hibert.
Ciao Ciao
Grazie!
Quindi se ho capito bene si rende continuò il valore $a^{pi}$ facendo il limite sinistro e destro di $a^{x}$ con $x -> pi^-$ e poi $x -> pi^+$ .
Senza usare l'itersezione si potrbbe scrivere $C_1 = ]-infinity , pi[$ e $C_2 = ]pi , + infinity[$ ? ...mi crea un pò di momentanea confusione quell'intersezione.
Secondo me andrebbe precisato poi che eseguendo $sup${a^x,x\inC_1}$ si ha che $x = max(C_1)$ e poi
eseguendo $inf${a^x,x\inC_2}$ andrebbe precisato che $x = min(C_2)$ ....o almeno così mi sembra di capire.
Approposito ...... qual'è la cardinalità di $R - Q$ ?
Cioè quanti sono i numeri irrazionali ?
Quindi se ho capito bene si rende continuò il valore $a^{pi}$ facendo il limite sinistro e destro di $a^{x}$ con $x -> pi^-$ e poi $x -> pi^+$ .
Senza usare l'itersezione si potrbbe scrivere $C_1 = ]-infinity , pi[$ e $C_2 = ]pi , + infinity[$ ? ...mi crea un pò di momentanea confusione quell'intersezione.
Secondo me andrebbe precisato poi che eseguendo $sup${a^x,x\inC_1}$ si ha che $x = max(C_1)$ e poi
eseguendo $inf${a^x,x\inC_2}$ andrebbe precisato che $x = min(C_2)$ ....o almeno così mi sembra di capire.
Approposito ...... qual'è la cardinalità di $R - Q$ ?
Cioè quanti sono i numeri irrazionali ?
Scusate.... mi sono dimenticato di fare l'antepriam
Grazie!
Quindi se ho capito bene si rende continuò il valore $a^{pi}$ facendo il limite sinistro e destro di $a^{x}$ con $x -> pi^-$ e poi $x -> pi^+$ .
Senza usare l'itersezione si potrbbe scrivere $C_1 = ]-oo , pi[$ e $C_2 = ]pi , + oo[$ ? ...mi crea un pò di momentanea confusione quell'intersezione.
Secondo me andrebbe precisato poi che eseguendo sup${a^x,x\inC_1}$ si ha che $x = max(C_1)$ e poi
eseguendo inf${a^x,x\inC_2}$ andrebbe precisato che $x = min(C_2)$ ....o almeno così mi sembra di capire.
Approposito ...... qual'è la cardinalità di $R - Q$ ?
Cioè quanti sono i numeri irrazionali ?
Grazie!
Quindi se ho capito bene si rende continuò il valore $a^{pi}$ facendo il limite sinistro e destro di $a^{x}$ con $x -> pi^-$ e poi $x -> pi^+$ .
Senza usare l'itersezione si potrbbe scrivere $C_1 = ]-oo , pi[$ e $C_2 = ]pi , + oo[$ ? ...mi crea un pò di momentanea confusione quell'intersezione.
Secondo me andrebbe precisato poi che eseguendo sup${a^x,x\inC_1}$ si ha che $x = max(C_1)$ e poi
eseguendo inf${a^x,x\inC_2}$ andrebbe precisato che $x = min(C_2)$ ....o almeno così mi sembra di capire.
Approposito ...... qual'è la cardinalità di $R - Q$ ?
Cioè quanti sono i numeri irrazionali ?
Se ad $RR$ togli $QQ$ ottieni un insieme che ha ancora la cardinalità di $RR$... si dimostra infatti che i numeri razionali sono numerabili mentre gli irrazionali no. $QQ$ ha la potenza di $NN$... chiamiamola $aleph_0$. Se ora chiamiamo con $aleph_1$ la potenza di $RR$ risulta interessante osservare che dovrebbe esserci un nesso tra le due potenze.
Molto tempo fa Cantor asserì che $aleph_1$ è pari a $2^(aleph_0)$, quest'ultima è nota come "ipotesi del continuo".
Dai un'occhiata qua: https://www.matematicamente.it/libri/Il% ... l'alef.pdf
Molto tempo fa Cantor asserì che $aleph_1$ è pari a $2^(aleph_0)$, quest'ultima è nota come "ipotesi del continuo".
Dai un'occhiata qua: https://www.matematicamente.it/libri/Il% ... l'alef.pdf
Grazie....interessante qull'articolo.
Comunque la "Potenza del Numerabile" e la "Potenza dell'infinito" le ho studiate a logica.... e mi sembra che c'era anche un accenno ad "aleph" ...ma di preciso non ricordo......ricordo solo che Logica l'ho dato 6 volte prima di passarlo
....sinceramente troppo complesso per uno del primo anno (o almeno uno del primo anno come me).
Comunque la "Potenza del Numerabile" e la "Potenza dell'infinito" le ho studiate a logica.... e mi sembra che c'era anche un accenno ad "aleph" ...ma di preciso non ricordo......ricordo solo che Logica l'ho dato 6 volte prima di passarlo
....sinceramente troppo complesso per uno del primo anno (o almeno uno del primo anno come me).
nel caso particolare $e^x$, si può anche definire anche come $sum_{n=0}^{+oo} x^n/(n!)$ (si può generalizzare anche per eponenziali con base $ne e$).
Grazie ficus2002!
Mi sembra di aver visto questo nel capitolo sulle Serie
Mi sembra di aver visto questo nel capitolo sulle Serie
comunque l'intersezione coi razionali è necessaria in quanto a priori
si conosce soltanto la potenza ad esponente razionale e quindi non è
corretto fare il limite, perchè potresti farlo attraverso una successione
di irrazionali... e come fai??
si conosce soltanto la potenza ad esponente razionale e quindi non è
corretto fare il limite, perchè potresti farlo attraverso una successione
di irrazionali... e come fai??
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo