Esistenza ordine di infinitesimo
ciao a tutti,
volevo un chiarimento su un esercizio.
MI si chiede ,se esiste, di calcolare l'ordine di infinitesimo della seguente funzione per x che tende a 0: $f(x)=xlogx+{sinx)^{2}$.
come devo procedere? io ho sviluppato in serie il sin e mi risulta che non esiste ovvero non esiste nessun $a\in RR$ tale che
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{a}}!=0$
volevo un chiarimento su un esercizio.
MI si chiede ,se esiste, di calcolare l'ordine di infinitesimo della seguente funzione per x che tende a 0: $f(x)=xlogx+{sinx)^{2}$.
come devo procedere? io ho sviluppato in serie il sin e mi risulta che non esiste ovvero non esiste nessun $a\in RR$ tale che
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{a}}!=0$
Risposte
"miuemia":
ciao a tutti,
volevo un chiarimento su un esercizio.
MI si chiede ,se esiste, di calcolare l'ordine di infinitesimo della seguente funzione per x che tende a 0: $f(x)=xlogx+{sinx)^{2}$.
come devo procedere? io ho sviluppato in serie il sin e mi risulta che non esiste ovvero non esiste nessun $a\in RR$ tale che
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{a}}!=0$
Ho idea che non si tratti di un infinitesimo di ordine reale, proprio perché $x * log(x)$ non è di ordine reale.
Infatti $"ord"_0 [sin^2(x)] = "ord"_0 (x^2)$ ed inoltre $"ord"_0 [x log(x)] < "ord"_0 (x^2)$. $sin^2(x)$ è ininfluente per l'ordine di quell'infinitesimo e si può trascurare in quanto di ordine superiore.
grazie mille a tutti.
mi è sorto un altro dubbio ma quanto vale l' o-piccolo di una costante? ad esempio $o(1)$??
mi è sorto un altro dubbio ma quanto vale l' o-piccolo di una costante? ad esempio $o(1)$??
"miuemia":
grazie mille a tutti.
mi è sorto un altro dubbio ma quanto vale l' o-piccolo di una costante? ad esempio $o(1)$??
$o(1)$ e' un generico infinitesimo. Nota che scrivere $o(1)$ richiede di definire $f=o(g)$ anche se $f$ e $g$ non sono infinitesimi, ma non c'e' nessun problema e io lo trovo assai comodo.
grazie mille!
a proposito di ordine di infinitesimo, io ho letto che $(1+x)^{a}=1+ax++\frac{a(a-1)}{2}x^{2}+....$ per $x$ vicino a zero.
Ma esiste uno sviluppo simile pero quando $a=1/x$?
cioè come posso scrivere $(1+x)^{1/x}$??? questo mi serve perchè vorrei determinare il
$\lim_{x\to 0}\frac{x}{(1+x)^{-1/x}-e^{-1}}$.
Ma esiste uno sviluppo simile pero quando $a=1/x$?
cioè come posso scrivere $(1+x)^{1/x}$??? questo mi serve perchè vorrei determinare il
$\lim_{x\to 0}\frac{x}{(1+x)^{-1/x}-e^{-1}}$.
"miuemia":
a proposito di ordine di infinitesimo, io ho letto che $(1+x)^{a}=1+ax++\frac{a(a-1)}{2}x^{2}+....$ per $x$ vicino a zero.
Ma esiste uno sviluppo simile pero quando $a=1/x$?
cioè come posso scrivere $(1+x)^{1/x}$??? questo mi serve perchè vorrei determinare il
$\lim_{x\to 0}\frac{x}{(1+x)^{-1/x}-e^{-1}}$.
Per "sviluppare" $(1+x)^{1/x}$ vicino a zero conviene scriverlo come $e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$ e usare gli sviluppi dell'esponenziale e del logartimo. Per avere ad esempio il primo termine:
$(1+x)^{1/x}=e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}=e^{\frac{x-x^2/2+o(x^2)}{x}}=e^{1-x/2+o(x)}=e(e^{-x/2+o(x)})=e(1-x/2+o(x)+o(-x/2+o(x)))=e(1-x/2+o(x))=e-\frac{e}{2}x+o(x)$
(sperando di non aver fatto errori di calcolo). In modo analogo si puo' provare a trovare il termine quadratico (sviluppando il logaritmo fino all'ordine tre e l'esponenziale fino all'ordine due - e' chiaro che
i calcoli sono piu' complicati). Nel caso che serviva a te invece
$(1+x)^{-1/x}=e^{-\frac{\ln(1+x)}{x}}=e^{-\frac{x-x^2/2+o(x^2)}{x}}=e^{-1+x/2+o(x)}=e^{-1}(e^{x/2+o(x)})=e^{-1}(1+x/2+o(x)+o(x/2+o(x)))=e^{-1}(1+x/2+o(x))=e^{-1}+\frac{1}{2e}x+o(x)$
per cui il tuo limite dovrebbe venire $2e$ (anche qui ricontrolla i calcoli perche' ho fatto tutto "in diretta" senza prima scivere su carta)
@seneca aspetta fiducioso la mia risposta
"ViciousGoblin":
@seneca aspetta fiducioso la mia risposta
Perfetto.
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