Esistenza limiti
Ciao,
il mio nuovo prof. di analisi ama sin troppo i limiti ed i teoremi sui limiti, così all'esame ha detto che ci metterà di sicuro oltre agli altri esercizi anche delle funzioni delle quali dovremo stabilire se esista o meno il loro limite. Si è parlato di teorema di caratterizzazione del limite ed in classe ha fatto un esempio su un limite che non esisteva prendendo una funzione del genere:
lim x -> x0 di [(x^2 + 1)/(x^4 + 3)] * [(3-cosx)/x+2];
va beh non era proprio così, me lo sono inventato adesso io [:D] però quello che conta è che praticamente il limite era composto da un prodotto di due funzioni, la prima che andava a + infinito e l'altra, quella del cosx che era limitata, poi lui considerava la funzione che riguardava il cosx limitata e diceva che dato che aveva un minorante positivo allora il limite tendenva a + infinito o qualcosa del genere...
Non ho capito bene la storia del minorante positivo e/o negativo... me la spieghereste ? cioè mi sono messo ad esercitarmi su esercizi come questo ma non sono riuscito a trovarne su nessun libro... mi aiutate ? magari spiegandomi bene la cosa...
il mio nuovo prof. di analisi ama sin troppo i limiti ed i teoremi sui limiti, così all'esame ha detto che ci metterà di sicuro oltre agli altri esercizi anche delle funzioni delle quali dovremo stabilire se esista o meno il loro limite. Si è parlato di teorema di caratterizzazione del limite ed in classe ha fatto un esempio su un limite che non esisteva prendendo una funzione del genere:
lim x -> x0 di [(x^2 + 1)/(x^4 + 3)] * [(3-cosx)/x+2];
va beh non era proprio così, me lo sono inventato adesso io [:D] però quello che conta è che praticamente il limite era composto da un prodotto di due funzioni, la prima che andava a + infinito e l'altra, quella del cosx che era limitata, poi lui considerava la funzione che riguardava il cosx limitata e diceva che dato che aveva un minorante positivo allora il limite tendenva a + infinito o qualcosa del genere...
Non ho capito bene la storia del minorante positivo e/o negativo... me la spieghereste ? cioè mi sono messo ad esercitarmi su esercizi come questo ma non sono riuscito a trovarne su nessun libro... mi aiutate ? magari spiegandomi bene la cosa...
Risposte
Ecco un esempio: calcoliamo lim[x->inf] cos(x)/x ,
ovvero il limite del prodotto delle funzioni cos(x) e 1/x.
Sappiamo che -1 <= cos(x) <= 1
dividiamo tutto per x:
-1/x <= cos(x)/x <= 1/x
Notiamo che, per x->inf, -1/x e 1/x tendono entrambe a zero,
quindi per il primo teorema del confronto anche cos(x)/x tende a zero.
ovvero il limite del prodotto delle funzioni cos(x) e 1/x.
Sappiamo che -1 <= cos(x) <= 1
dividiamo tutto per x:
-1/x <= cos(x)/x <= 1/x
Notiamo che, per x->inf, -1/x e 1/x tendono entrambe a zero,
quindi per il primo teorema del confronto anche cos(x)/x tende a zero.
ok grazie fireball!
Non ti preoccupare per la svita, ci mancherebbe! sai quante ne capitano a me
Grazie Ancora!
Non ti preoccupare per la svita, ci mancherebbe! sai quante ne capitano a me
Grazie Ancora!
Perchè qui dici:
In questo caso il limite non dovrebbe esistere ed equivale ad inf se la funzione non limitata diverge o infinitesima se converge ?
quote:
Dipende tutto da una delle due funzioni: se una
è limitata e oscillante (e dunque non ammette limite per x->inf)
e l'altra ammette qualsivoglia limite (finito o infinito)
diverso da zero per x->inf, il limite del prodotto delle due funzioni non esiste.
In questo caso il limite non dovrebbe esistere ed equivale ad inf se la funzione non limitata diverge o infinitesima se converge ?
Quale caso? Mi dici quali funzioni prendi in considerazione?
forse sono stato poco chiaro, scusa Fireball ! [:(]
allora, dicevo: tu avevi scritto questo:
Dipende tutto da una delle due funzioni: se una
è limitata e oscillante (e dunque non ammette limite per x->inf)
e l'altra ammette qualsivoglia limite (finito o infinito)
diverso da zero per x->inf, il limite del prodotto delle due funzioni non esiste.
però se io considero f(x) divergente e g(x) limitata ed oscillante ( ad esempio ( 2 - sinx ), il limite intero non dovrebbe divergere ?
Stando a quanto detto da te invece il limite non esisterebbe... come stanno le cose ?
mannaggia sto facendo confusione [:(]
allora, dicevo: tu avevi scritto questo:
Dipende tutto da una delle due funzioni: se una
è limitata e oscillante (e dunque non ammette limite per x->inf)
e l'altra ammette qualsivoglia limite (finito o infinito)
diverso da zero per x->inf, il limite del prodotto delle due funzioni non esiste.
però se io considero f(x) divergente e g(x) limitata ed oscillante ( ad esempio ( 2 - sinx ), il limite intero non dovrebbe divergere ?
Stando a quanto detto da te invece il limite non esisterebbe... come stanno le cose ?
mannaggia sto facendo confusione [:(]
No, il limite "intero" non diverge!!!
Prendiamo per esempio sin(x) e x.
La prima è limitata ed oscillante e quindi non ammette limite per x->inf
La seconda è illimitata e diverge per x->inf
Il limite di x*sin(x) non esiste!!!
Il limite, al tendere di x all'infinito, del prodotto di una funzione
limitata per un'altra funzione, esiste se, e solo se,
l'altra funzione è infinitesima per x->inf.
In tutti gli altri casi (ad esempio l'altra funzione
ammette limite 1 per x->inf, oppure diverge per x->inf, etc...)
il limite del prodotto non esiste. Sono stato chiaro?
Prendiamo per esempio sin(x) e x.
La prima è limitata ed oscillante e quindi non ammette limite per x->inf
La seconda è illimitata e diverge per x->inf
Il limite di x*sin(x) non esiste!!!
Il limite, al tendere di x all'infinito, del prodotto di una funzione
limitata per un'altra funzione, esiste se, e solo se,
l'altra funzione è infinitesima per x->inf.
In tutti gli altri casi (ad esempio l'altra funzione
ammette limite 1 per x->inf, oppure diverge per x->inf, etc...)
il limite del prodotto non esiste. Sono stato chiaro?
ok si ora ho capito, tutto ok !
Grazie!
Grazie!
Chiaramente quando il limite per x->inf
del prodotto di due funzioni esiste
(cioè, nel caso specifico, quando una funzione è infinitesima per x->inf
e l'altra è limitata ed oscillante e quindi non ammette limite per x->inf),
questo vale sempre zero.
del prodotto di due funzioni esiste
(cioè, nel caso specifico, quando una funzione è infinitesima per x->inf
e l'altra è limitata ed oscillante e quindi non ammette limite per x->inf),
questo vale sempre zero.
Grazie Fireball !
Speriamo in bene per domani
Speriamo in bene per domani
"fireball":
No, il limite "intero" non diverge!!!
Prendiamo per esempio sin(x) e x.
La prima è limitata ed oscillante e quindi non ammette limite per x->inf
La seconda è illimitata e diverge per x->inf
Il limite di x*sin(x) non esiste!!!
Il limite, al tendere di x all'infinito, del prodotto di una funzione
limitata per un'altra funzione, esiste se, e solo se,
l'altra funzione è infinitesima per x->inf.
In tutti gli altri casi (ad esempio l'altra funzione
ammette limite 1 per x->inf, oppure diverge per x->inf, etc...)
il limite del prodotto non esiste. Sono stato chiaro?
cosa si intende per funzione oscillante???
Non ho capito bene perchè hai riesumato un thread del 2004, oggi 31 agosto 2010!
Comunque sia ne approfitto per mettere in luce degli errori nella parte quotata, visto che qualcuno li leggerà. Ad esempio non è vero che "Il limite, al tendere di x all'infinito, del prodotto di una funzione limitata per un'altra funzione, esiste se, e solo se, l'altra funzione è infinitesima per x->inf." Infatti basta prendere come funzione il prodotto di due funzioni limitate che ammettono limiti finiti non nulli entrambi, per esempio.
Comunque sia ne approfitto per mettere in luce degli errori nella parte quotata, visto che qualcuno li leggerà. Ad esempio non è vero che "Il limite, al tendere di x all'infinito, del prodotto di una funzione limitata per un'altra funzione, esiste se, e solo se, l'altra funzione è infinitesima per x->inf." Infatti basta prendere come funzione il prodotto di due funzioni limitate che ammettono limiti finiti non nulli entrambi, per esempio.
"Luca.Lussardi":
Non ho capito bene perchè hai riesumato un thread del 2004, oggi 31 agosto 2010!
Comunque sia ne approfitto per mettere in luce degli errori nella parte quotata, visto che qualcuno li leggerà. Ad esempio non è vero che "Il limite, al tendere di x all'infinito, del prodotto di una funzione limitata per un'altra funzione, esiste se, e solo se, l'altra funzione è infinitesima per x->inf." Infatti basta prendere come funzione il prodotto di due funzioni limitate che ammettono limiti finiti non nulli entrambi, per esempio.
si' hai ragione sul fatto che ho postato in modo un pochino barbaro.
stavo cercando da Google qualcosa sulle condizioni di ESISTENZA del limite di funzioni (nel caso di prodotto, quoziente, esponenziale di funzioni e cosi' via) e mi e' spuntato questo thread.
visto che non mi convinceva la parte quotata volevo almeno avere una certezza riguardo la seguente funzione:
$x*[10+sin(x)]$ per $x->+oo$
la suddetta funzione tende a $+oo$ ?
secondo me, banalmente si' (anche se $[10+sin(x)]$ non ammette limite per $x->+oo$)
grazie luca come sempre e' da tanto che manco dal forum ma vi stimo sempre tutti.
alex
"codino75":
$x*[10+sin(x)]$ per $x->+oo$
la suddetta funzione tende a $+oo$ ?
secondo me, banalmente si' (anche se $[10+sin(x)]$ non ammette limite per $x->+oo$)
Vero, infatti $9x<=x*[10+sin(x)]<=11x$ e per $x->+oo$ sia $9x $ che $11x$ tendono a $+oo$, per il teorema del confronto anche $x*[10+sin(x)]$, per $x->+oo$, tende a $+oo$ .
"@melia":
[quote="codino75"]
$x*[10+sin(x)]$ per $x->+oo$
la suddetta funzione tende a $+oo$ ?
secondo me, banalmente si' (anche se $[10+sin(x)]$ non ammette limite per $x->+oo$)
Vero, infatti $9x<=x*[10+sin(x)]<=11x$ e per $x->+oo$ sia $9x $ che $11x$ tendono a $+oo$, per il teorema del confronto anche $x*[10+sin(x)]$, per $x->+oo$, tende a $+oo$ .[/quote]
grazie @melia, e' sempre un piacere leggerti. ma la pozione e' pronta? sono anni che la stai mescolando!!! hihihihihi (scusa, si gioca...)
Piccola osservazione stupida: basta la maggiorazione $9x \leq x(10+\sin x)$ per concludere.
"Luca.Lussardi":
basta la maggiorazione $9x \leq x(10+\sin x)$ per concludere.
Eh già!
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