Esistenza limiti
Ciao,
il mio nuovo prof. di analisi ama sin troppo i limiti ed i teoremi sui limiti, così all'esame ha detto che ci metterà di sicuro oltre agli altri esercizi anche delle funzioni delle quali dovremo stabilire se esista o meno il loro limite. Si è parlato di teorema di caratterizzazione del limite ed in classe ha fatto un esempio su un limite che non esisteva prendendo una funzione del genere:
lim x -> x0 di [(x^2 + 1)/(x^4 + 3)] * [(3-cosx)/x+2];
va beh non era proprio così, me lo sono inventato adesso io [:D] però quello che conta è che praticamente il limite era composto da un prodotto di due funzioni, la prima che andava a + infinito e l'altra, quella del cosx che era limitata, poi lui considerava la funzione che riguardava il cosx limitata e diceva che dato che aveva un minorante positivo allora il limite tendenva a + infinito o qualcosa del genere...
Non ho capito bene la storia del minorante positivo e/o negativo... me la spieghereste ? cioè mi sono messo ad esercitarmi su esercizi come questo ma non sono riuscito a trovarne su nessun libro... mi aiutate ? magari spiegandomi bene la cosa...
il mio nuovo prof. di analisi ama sin troppo i limiti ed i teoremi sui limiti, così all'esame ha detto che ci metterà di sicuro oltre agli altri esercizi anche delle funzioni delle quali dovremo stabilire se esista o meno il loro limite. Si è parlato di teorema di caratterizzazione del limite ed in classe ha fatto un esempio su un limite che non esisteva prendendo una funzione del genere:
lim x -> x0 di [(x^2 + 1)/(x^4 + 3)] * [(3-cosx)/x+2];
va beh non era proprio così, me lo sono inventato adesso io [:D] però quello che conta è che praticamente il limite era composto da un prodotto di due funzioni, la prima che andava a + infinito e l'altra, quella del cosx che era limitata, poi lui considerava la funzione che riguardava il cosx limitata e diceva che dato che aveva un minorante positivo allora il limite tendenva a + infinito o qualcosa del genere...
Non ho capito bene la storia del minorante positivo e/o negativo... me la spieghereste ? cioè mi sono messo ad esercitarmi su esercizi come questo ma non sono riuscito a trovarne su nessun libro... mi aiutate ? magari spiegandomi bene la cosa...
Risposte
E' abbasatanza semplice: se hai da calcolare il limite del prodotto di due funzioni f(x)g(x) di cui f(x) tende a +infinito, e g(x) non ha limite, ti si possono presentare vari casi. Se g(x), pur non avendo limite, si mantiene sempre sopra un certo valore strettamente positivo, allora f(x)g(x) ha limite +infinito. Esempio, g(x)=cos x+2. Non ha limite all'infinito, ma si mantiene sempre sopra 1. Il punto delicato e' quando g(x) torna a 0 troppo spesso (g(x)=cos x+1) ovvero e' nulla frequentemente: in tal caso il limite di f(x)g(x) non esiste. Se invece g(x) si mantiene sotto un certo valore strettamente negativo, allora il limite di f(x)g(x) esiste e risulta essere -infinito.
Luca.
Luca.
ecco bene, grazie Luca!
ero proprio quello che volevo capire...
quindi se la funzione ha un minorante positivo e non va a zero frequentemente allora il limite esiste e se la fx va a +inf allora il limite va a +inf, se invece la funzione ha un minorante negativo ed fx tende a +inf allora il limite va a -inf, se invece, come hai detto tu, la funzione gx qualke volta vale zero allora il limite non esiste...
ad esempio se g(x) = cosx-2 allora si può dire che la g(x) è compresa tra -3 < cosx -2 < -1 e quindi se fx tende a più infinito allora il limite sarà - inf ? dato che il minorante è negativo e non vale zero frequentemente ? ...
ero proprio quello che volevo capire...
quindi se la funzione ha un minorante positivo e non va a zero frequentemente allora il limite esiste e se la fx va a +inf allora il limite va a +inf, se invece la funzione ha un minorante negativo ed fx tende a +inf allora il limite va a -inf, se invece, come hai detto tu, la funzione gx qualke volta vale zero allora il limite non esiste...
ad esempio se g(x) = cosx-2 allora si può dire che la g(x) è compresa tra -3 < cosx -2 < -1 e quindi se fx tende a più infinito allora il limite sarà - inf ? dato che il minorante è negativo e non vale zero frequentemente ? ...
Tutto corretto tranne due parole sole: per la funzione g(x)=cos x -2, -1 e' un maggiorante, non un minorante.
Luca.
Luca.
si, cioè in questo caso -3 è il minorante negativo e -1 è il maggiorante sempre negativo vero ?
Perfetto.
Luca.
Luca.
ok grazie!
mi rileggo i teoremi sui limiti e faccio qualke altro esercizio, se ho problemi ti faccio sapere...
grazie ancora!
mi rileggo i teoremi sui limiti e faccio qualke altro esercizio, se ho problemi ti faccio sapere...
grazie ancora!
ciao,
ma se la funzione f(x) non diverge ed è limitata anch'essa, cosa se ne può dedurre ? nel caso che g(x) sia limitata a sua volta...
cioè quanto abbiamo detto vale solo se una delle due funzioni è limitata e l'altra diverge positivamente o negativamente ?
ma se la funzione f(x) non diverge ed è limitata anch'essa, cosa se ne può dedurre ? nel caso che g(x) sia limitata a sua volta...
cioè quanto abbiamo detto vale solo se una delle due funzioni è limitata e l'altra diverge positivamente o negativamente ?
Se f non diverge, allora il limite non dovrebbe esistere, ma occorre un'analisi piu' accurata dell'esempio particolare.
Luca.
Luca.
mm cioè ? riesci a farmi un esempio non difficile da capire ?
il nostro prof. in genere ci mette sempre limiti che non esistono e dobbiamo dimostrare che effettivamente non si possono calcolare poichè non esistono...
Diciamo che quindi se ho un limite di un prodotto di due funzioni tutte e due limitate, cioè una limitata di sicuro e l'altra che non diverge allora "potrebbe" non esistere il limite, però per esserne sicuro di cosa dovrei accertarmi ?
il nostro prof. in genere ci mette sempre limiti che non esistono e dobbiamo dimostrare che effettivamente non si possono calcolare poichè non esistono...
Diciamo che quindi se ho un limite di un prodotto di due funzioni tutte e due limitate, cioè una limitata di sicuro e l'altra che non diverge allora "potrebbe" non esistere il limite, però per esserne sicuro di cosa dovrei accertarmi ?
f(x)=(x+1)/x e g(x)=sen(x); allora f tende a 1, per x che tende a +infinito. La funzione f(x)g(x) non ha limite per x che tende a +infinito.
Luca.
Luca.
ok questo vale quindi perchè le due funzioni sono entrambe finite, in particolare la prima ha limita 1 e l'altra oscilla in un intervallo finito [-1,1] esatto ?
Se la prima avesse avuto limite zero ?
Se la prima avesse avuto limite zero ?
Se f(x) avesse avuto limite zero, per x->+inf,
il limite per x->+inf di f(x)*g(x) sarebbe stato zero
(mi riferisco al caso specifico g(x) = sen(x)).
Un esempio di funzione infinitesima per x->+inf si può
ricavare dalla f(x) di Luca: incrementando di 1 il grado del denominatore di
questa infatti si ottiene: F(x) = (x + 1)/x^2 che è infinitesima
per x->+inf. Il limite per x->+inf di F(x)*g(x) esiste ed è zero.
il limite per x->+inf di f(x)*g(x) sarebbe stato zero
(mi riferisco al caso specifico g(x) = sen(x)).
Un esempio di funzione infinitesima per x->+inf si può
ricavare dalla f(x) di Luca: incrementando di 1 il grado del denominatore di
questa infatti si ottiene: F(x) = (x + 1)/x^2 che è infinitesima
per x->+inf. Il limite per x->+inf di F(x)*g(x) esiste ed è zero.
ah quindi sia la f valga 1, come nel caso portato da Luca, sia che valga zero, il limite non esiste lo stesso? La condizione dell'esistenza è che quindi la prima diverga e la seconda sia limitata in un certo intervallo... ( o cmq anche il contrario... ), esatto ?
Se g(x) è limitata, e per esempio,
come il seno, oscilla tra -1 e 1, allora non ammette
limite per x->inf. Di conseguenza, anche se f(x)
diverge, neanche in questo caso esiste il limite di f(x)*g(x)
per x->inf. Dipende tutto da una delle due funzioni: se una
è limitata e oscillante (e dunque non ammette limite per x->inf)
e l'altra ammette qualsivoglia limite (finito o infinito)
diverso da zero per x->inf, il limite del prodotto delle due funzioni non esiste.
Potrebbe poi capitarti che f(x) tenda a zero e g(x)
tenda a inf per x->inf... In questo caso sei ovviamente
in presenza di una forma indeterminata...
come il seno, oscilla tra -1 e 1, allora non ammette
limite per x->inf. Di conseguenza, anche se f(x)
diverge, neanche in questo caso esiste il limite di f(x)*g(x)
per x->inf. Dipende tutto da una delle due funzioni: se una
è limitata e oscillante (e dunque non ammette limite per x->inf)
e l'altra ammette qualsivoglia limite (finito o infinito)
diverso da zero per x->inf, il limite del prodotto delle due funzioni non esiste.
Potrebbe poi capitarti che f(x) tenda a zero e g(x)
tenda a inf per x->inf... In questo caso sei ovviamente
in presenza di una forma indeterminata...
No no, attenzione, c'e' un errore nel post di Fireball: se f ha limite zero e g e' limitata, allora il prodotto fg ha limite 0.
Luca.
Luca.
Ah già!!! Correggo subito!
Ti ricopio il testo:
"Se f(x) avesse avuto limite zero, per x->+inf,
il limite per x->+inf di f(x)*g(x) non sarebbe esistito
comunque (naturalmente mi riferisco al caso specifico g(x) = sen(x)).
Un esempio di funzione infinitesima per x->+inf si può
ricavare dalla f(x) di Luca: alzando di grado il denominatore di
questa infatti si ottiene: F(x) = (x + 1)/x^2 che è infinitesima
per x->+inf. Il limite per x->+inf di F(x)*g(x) non esiste"
In generale se f(x) tende a 0 e g(x) e' limitata (anche non ammettendo limite) il prodotto f(x)g(x) ha limite 0.
Luca.
"Se f(x) avesse avuto limite zero, per x->+inf,
il limite per x->+inf di f(x)*g(x) non sarebbe esistito
comunque (naturalmente mi riferisco al caso specifico g(x) = sen(x)).
Un esempio di funzione infinitesima per x->+inf si può
ricavare dalla f(x) di Luca: alzando di grado il denominatore di
questa infatti si ottiene: F(x) = (x + 1)/x^2 che è infinitesima
per x->+inf. Il limite per x->+inf di F(x)*g(x) non esiste"
In generale se f(x) tende a 0 e g(x) e' limitata (anche non ammettendo limite) il prodotto f(x)g(x) ha limite 0.
Luca.
OK, chiedo scusa a Rocco: mi sono confuso. Ora ho corretto tutto.
quello che viene detto qui è corretto quindi ?
mi sembra che forse c'è qualcosa che non va. o è tutto ok ?
mi sembra che forse c'è qualcosa che non va. o è tutto ok ?
quote:
Se g(x) è limitata, e per esempio,
come il seno, oscilla tra -1 e 1, allora non ammette
limite per x->inf. Di conseguenza, anche se f(x)
diverge, neanche in questo caso esiste il limite di f(x)*g(x)
per x->inf. Dipende tutto da una delle due funzioni: se una
è limitata e oscillante (e dunque non ammette limite per x->inf)
e l'altra ammette qualsivoglia limite (finito o infinito)
diverso da zero per x->inf, il limite del prodotto delle due funzioni non esiste.
Potrebbe poi capitarti che f(x) tenda a zero e g(x)
tenda a inf per x->inf... In questo caso sei ovviamente
in presenza di una forma indeterminata...
Sì adesso è tutto corretto. Ti chiedo
veramente scusa per la svista, Rocco:
proprio non so cosa mi sia successo mentre
scrivevo quel post [:)].
Se f(x) è infinitesima per x->inf, allora
anche il prodotto di f(x) per una funzione
limitata è infinitesimo per x->inf.
veramente scusa per la svista, Rocco:
proprio non so cosa mi sia successo mentre
scrivevo quel post [:)].
Se f(x) è infinitesima per x->inf, allora
anche il prodotto di f(x) per una funzione
limitata è infinitesimo per x->inf.
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