Esistenza ed irrazionalità di radical 2
Ciao ragazzi, sono alle prese con un'altra dimostrazione. Ho cercato a fondo su internet dove ho trovato una dimostrazione facilissima e banalissima! Peccato che il nostro prof ci abbia complicato molto le cose inserendo altre cose che non ci sono nelle dimostrazioni generali. Allora ve la mostro spiegando quali punti non mi sono chiari.
Esistenza ed irrazionalità di radical 2.
Sia $ X={r∈Q: r^2<2};$ allora X è limitato superiormente (questo perchè esiste un L in questo caso 2 tale che tutti gli r sono minori di L, giusto?),
ma supX $∉ Q $; segue che l'assioma di completezza non vale in Q (non l'ho capita perfettamente)
Per giustificare la nostra affermazione, procediamo in due passi: mostriamo prima che se L=supX allora $L^2=2$, e poi che se $L^2=2$ allora $L∉Q$. Per la prima parte, si può ragionare così: supposto $L^2<2$ (perchè? Non sappiamo già che L=2?), esistono $0<ε<1$ tali che $(L+ε)^2<2$ (ecco, anche qui, perchè abbiamo preso questa quantità minore di 2? così? solo perchè ci serviva per dimostrare?), infatti risulta:
$(L+ε)^2=L^2+2Lε+ε^2
pur di scegliere: $0<ε<(2-L^2)/(2L+1)$.
Per tali valori di ε risulta che $(L+ε)^2<2$ e quindi per la densità di Q in R ci sono elementi di X compresi tra L ed L+ε, sicchè, supposto $L^2<2$, L non può essere il sup di X. (Questa parte non l'ho capita affatto
, cosa significa? Cioè io so che per la densità in Q, presi due due numeri a, b, esiste un numero razionale c che è compreso tra a e b ma non riesco a capire come sia stato usato qui e soprattutto perchè questo porta a dire che L non è l'estremo superiore di X)
Analogamente, supposto $L^2>2$, si vede che esistono $ε>0$ tali che:
$(L-ε)^2=L^2-2Lε+ε^2>L^2-2Lε>2$ (anche qui, perchè L-ε?) pur di prendere: $0<ε<(L^2-2)/(2L)$
Per tali valori di ε risulta che $(L-ε)^2>2$ e quindi esistono maggioranti di X compresi tra $L-ε$ ed $L$, in particolare più piccoli di L. Questo prova che, supposto $L^2>2$, allora $L$ non può essere l'estremo superiore di X. (Anche qui non ho capito :'().
In definitiva supX=2. (Perchè?)
Proviamo ora che supX∉Q. Supposto vero il contrario, sia supX=$p/q$ con la frazione $p/q$ ridotta ai minimi termini. Si vede facilmente che questo porta ad una contraddizione. Infatti: $(p/q)^2=2$ implica $p^2=2q^2$, da cui $p^2$ è pari e quindi $p$ è pari, diciamo $p=2r$ allora $q^2=2r^2$ pari e $q$ pari.
La precedente conclusione è impossibile perchè la frazione era supposta ai minimi termini.
(Quest'ultima parte l'ho capita benissimo, che è poi la dimostrazione che circola su internet ma la tutta la parte che viene prima mi è poco chiara, ho messo in corsivo le parti dove parlo io per non confondervi. Sareste così gentili da chiarire le mie domande e i miei dubbi? Ve ne sarei infinitamente grata, grazie in anticipo )
Esistenza ed irrazionalità di radical 2.
Sia $ X={r∈Q: r^2<2};$ allora X è limitato superiormente (questo perchè esiste un L in questo caso 2 tale che tutti gli r sono minori di L, giusto?),
ma supX $∉ Q $; segue che l'assioma di completezza non vale in Q (non l'ho capita perfettamente)
Per giustificare la nostra affermazione, procediamo in due passi: mostriamo prima che se L=supX allora $L^2=2$, e poi che se $L^2=2$ allora $L∉Q$. Per la prima parte, si può ragionare così: supposto $L^2<2$ (perchè? Non sappiamo già che L=2?), esistono $0<ε<1$ tali che $(L+ε)^2<2$ (ecco, anche qui, perchè abbiamo preso questa quantità minore di 2? così? solo perchè ci serviva per dimostrare?), infatti risulta:
$(L+ε)^2=L^2+2Lε+ε^2
pur di scegliere: $0<ε<(2-L^2)/(2L+1)$.
Per tali valori di ε risulta che $(L+ε)^2<2$ e quindi per la densità di Q in R ci sono elementi di X compresi tra L ed L+ε, sicchè, supposto $L^2<2$, L non può essere il sup di X. (Questa parte non l'ho capita affatto
, cosa significa? Cioè io so che per la densità in Q, presi due due numeri a, b, esiste un numero razionale c che è compreso tra a e b ma non riesco a capire come sia stato usato qui e soprattutto perchè questo porta a dire che L non è l'estremo superiore di X)Analogamente, supposto $L^2>2$, si vede che esistono $ε>0$ tali che:
$(L-ε)^2=L^2-2Lε+ε^2>L^2-2Lε>2$ (anche qui, perchè L-ε?) pur di prendere: $0<ε<(L^2-2)/(2L)$
Per tali valori di ε risulta che $(L-ε)^2>2$ e quindi esistono maggioranti di X compresi tra $L-ε$ ed $L$, in particolare più piccoli di L. Questo prova che, supposto $L^2>2$, allora $L$ non può essere l'estremo superiore di X. (Anche qui non ho capito :'().
In definitiva supX=2. (Perchè?)
Proviamo ora che supX∉Q. Supposto vero il contrario, sia supX=$p/q$ con la frazione $p/q$ ridotta ai minimi termini. Si vede facilmente che questo porta ad una contraddizione. Infatti: $(p/q)^2=2$ implica $p^2=2q^2$, da cui $p^2$ è pari e quindi $p$ è pari, diciamo $p=2r$ allora $q^2=2r^2$ pari e $q$ pari.
La precedente conclusione è impossibile perchè la frazione era supposta ai minimi termini.
(Quest'ultima parte l'ho capita benissimo, che è poi la dimostrazione che circola su internet ma la tutta la parte che viene prima mi è poco chiara, ho messo in corsivo le parti dove parlo io per non confondervi. Sareste così gentili da chiarire le mie domande e i miei dubbi? Ve ne sarei infinitamente grata, grazie in anticipo )
Risposte
X e' limitato superiormente in $ mathbb(Q) $ significa che $ EE a in mathbb(Q) | x<=a AA x in X $. Tanti numeri nel caso in questione soddisfano questa condizione: 2, 3, etc..
Il sup che si usa nella parte seguente e' il piu' piccolo tra i numeri che soddisfano la condizione sopra e non e' detto a priori che sia 2. Quindi si cerca un tale numero in $ mathbb(Q) $. [ovviamente in $ mathbb(R) $ sarebbe $ Sup X= sqrt(2) $ ]
Poi si vuole dimostrare che se $ L=SupA $ allora $ L^2=2 $ e lo si fa dimostrando che non puo' essere $ L^2<2 $ e neppure $ L^2>2 $ e quindi $ L^2=2 $ !!
Poi si dimostra che se $ L^2=2 $ allora $ L!in mathbb(Q) $
In altri termini in $ mathbb(Q) $ X e' limitato ma non possiede Sup!!
Il sup che si usa nella parte seguente e' il piu' piccolo tra i numeri che soddisfano la condizione sopra e non e' detto a priori che sia 2. Quindi si cerca un tale numero in $ mathbb(Q) $. [ovviamente in $ mathbb(R) $ sarebbe $ Sup X= sqrt(2) $ ]
Poi si vuole dimostrare che se $ L=SupA $ allora $ L^2=2 $ e lo si fa dimostrando che non puo' essere $ L^2<2 $ e neppure $ L^2>2 $ e quindi $ L^2=2 $ !!
Poi si dimostra che se $ L^2=2 $ allora $ L!in mathbb(Q) $
In altri termini in $ mathbb(Q) $ X e' limitato ma non possiede Sup!!
Okay ma non ho capito come dimostra che il supX non è nè L<2 e nè L>2... Fa un discorso sulla densità di Q, con epsilon ma la parte dove spiega il perchè non può essere nè l'uno o nè l'altro non l'ho capita 
Non so se ti sarà utile però ti riporto questa dimostrazione (nella quale si illustra che insiemi limitati possono NON avere massimo e minimo).
L'insieme $A={r in QQ_+ : r^2<2}$ non è vuoto ($1 in A$) ed è limitato superiormente ($3$ è un maggiorante).
L'insieme $A$ non ha massimo.
Dimostrazione:
Per ogni $r in A$ poniamo che sia $s=r+(2-r^2)/(2+r)=2(r+1)/(r+2)$ (cioè costruiamo un numero razionale $s$ partendo da $r$ in un modo che ci converrà).
Con qualche calcolo si può vedere che da $s=2(r+1)/(r+2)$ si può giungere a $s^2-2=2(r^2-2)/(r+2)^2$.
[$s^2=(2(r+1)/(r+2))^2=4(r+1)^2/(r+2)^2=(4r^2+4+8r)/(r+2)^2=(2r^2+2r^2+8-4+8r)/(r+2)^2=$
$=(2(r^2-2)+2(r^2+4+4r))/(r+2)^2=(2(r^2-2)+2(r+2)^2)/(r+2)^2=2(r^2-2)/(r+2)^2+2$ da cui $s^2-2=2(r^2-2)/(r+2)^2$]
Da quest'ultima espressione si può notare che, siccome $r^2-2<0$ (per come è stato costruito l'insieme) allora anche $s^2-2<0$ perciò anche $s in A$.
D'altra parte è vero anche che è $r
In modo analogo si può dimostrare che l'insieme $B={r in QQ_+ : r^2>2}$ è limitato inferiormente ma non ha minimo.
Da ciò si deduce che abbiamo creato una partizione in $QQ$ (cioè $A uu B = QQ$ e per ogni $a in A$ e per ogni $b in B$ è sempre vero che $a
Cordialmente, Alex
L'insieme $A={r in QQ_+ : r^2<2}$ non è vuoto ($1 in A$) ed è limitato superiormente ($3$ è un maggiorante).
L'insieme $A$ non ha massimo.
Dimostrazione:
Per ogni $r in A$ poniamo che sia $s=r+(2-r^2)/(2+r)=2(r+1)/(r+2)$ (cioè costruiamo un numero razionale $s$ partendo da $r$ in un modo che ci converrà).
Con qualche calcolo si può vedere che da $s=2(r+1)/(r+2)$ si può giungere a $s^2-2=2(r^2-2)/(r+2)^2$.
[$s^2=(2(r+1)/(r+2))^2=4(r+1)^2/(r+2)^2=(4r^2+4+8r)/(r+2)^2=(2r^2+2r^2+8-4+8r)/(r+2)^2=$
$=(2(r^2-2)+2(r^2+4+4r))/(r+2)^2=(2(r^2-2)+2(r+2)^2)/(r+2)^2=2(r^2-2)/(r+2)^2+2$ da cui $s^2-2=2(r^2-2)/(r+2)^2$]
Da quest'ultima espressione si può notare che, siccome $r^2-2<0$ (per come è stato costruito l'insieme) allora anche $s^2-2<0$ perciò anche $s in A$.
D'altra parte è vero anche che è $r
In modo analogo si può dimostrare che l'insieme $B={r in QQ_+ : r^2>2}$ è limitato inferiormente ma non ha minimo.
Da ciò si deduce che abbiamo creato una partizione in $QQ$ (cioè $A uu B = QQ$ e per ogni $a in A$ e per ogni $b in B$ è sempre vero che $a
Cordialmente, Alex
Suppongo per assurdo $ L^2<2 $.
Ma si trova che per $ epsilon $ opportuno, $ 0<ε<(2-L^2)/(2L+1) $, si ha $ (L+epsilon)^2 <2 $ Ora $ (L+epsilon) in mathbb(R) $ sicuramente. Ma essendo $ mathbb(Q) $ denso in $ mathbb(R) $ trovo una serie di numeri razionali y compresi tra $ L $ et $ (L+epsilon) $. Ora $ y in X $ poiche' $ y in mathbb(Q) $ et $ y^2<2 $ (essendo $ y^2<(L+epsilon)^2<2 $ ) si arriva a un assurdo poiche' $ y>L $ mentre per definizione di sup dovrebbe essere $ L>x , AA x in X $ e quindi $ L>y $!!
In altre parole un po' grossolane la disuguglianza $ (L+epsilon)^2 <2 $ mi serve per trovare numeri che stiano in X in quanto il loro quadrato e' minore di 2, la densita' dei razionali in $ mathbb(R) $ serve affinche' tali numeri siano appartenenti ai razionali.
Ma si trova che per $ epsilon $ opportuno, $ 0<ε<(2-L^2)/(2L+1) $, si ha $ (L+epsilon)^2 <2 $ Ora $ (L+epsilon) in mathbb(R) $ sicuramente. Ma essendo $ mathbb(Q) $ denso in $ mathbb(R) $ trovo una serie di numeri razionali y compresi tra $ L $ et $ (L+epsilon) $. Ora $ y in X $ poiche' $ y in mathbb(Q) $ et $ y^2<2 $ (essendo $ y^2<(L+epsilon)^2<2 $ ) si arriva a un assurdo poiche' $ y>L $ mentre per definizione di sup dovrebbe essere $ L>x , AA x in X $ e quindi $ L>y $!!
In altre parole un po' grossolane la disuguglianza $ (L+epsilon)^2 <2 $ mi serve per trovare numeri che stiano in X in quanto il loro quadrato e' minore di 2, la densita' dei razionali in $ mathbb(R) $ serve affinche' tali numeri siano appartenenti ai razionali.
Continuo per assurdo questa volta con $ L^2>2 $.
Per $ 0<ε<(L^2-2)/(2L) $ si ha $ (L-epsilon)^2>2 $ .
Poiche' L e' il Sup allora per sua definizione e' il piu' piccolo dei maggioranti cioe':
$ AA eta>0 EEbar(x)inX | bar(x)> L-eta $ allora per $ eta=epsilon $ segue:
$ (L-epsilon)^2 < bar(x)(L-epsilon) < bar(x)^2 < 2 $ essendo $ bar(x) in X $
quindi assurdo essendo contemporaneamente $ (L-epsilon)^2 $ maggiore e minore di 2!
Quindi l'unica possibilita' e' che $ L^2=2 $
Per $ 0<ε<(L^2-2)/(2L) $ si ha $ (L-epsilon)^2>2 $ .
Poiche' L e' il Sup allora per sua definizione e' il piu' piccolo dei maggioranti cioe':
$ AA eta>0 EEbar(x)inX | bar(x)> L-eta $ allora per $ eta=epsilon $ segue:
$ (L-epsilon)^2 < bar(x)(L-epsilon) < bar(x)^2 < 2 $ essendo $ bar(x) in X $
quindi assurdo essendo contemporaneamente $ (L-epsilon)^2 $ maggiore e minore di 2!
Quindi l'unica possibilita' e' che $ L^2=2 $
Grazie grazie grazie! 
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