Esistenza e unicità locale per equazioni a variabili separabili
Salve! Il teorema di esistenza e unicità locale per equazioni a variabili separabili dice quanto segue:
Sia \(\displaystyle y'=f(t)g(y) \) equazione differenziale ordinaria di primo ordine a variabili separabili (con \(\displaystyle f:I\rightarrow\mathbb{R} \), \(\displaystyle g:J\rightarrow\mathbb{R} \), \(\displaystyle I,J \) intervalli aperti e \(\displaystyle f,g \) continue); siano inoltre \(\displaystyle t_0\in I \) e \(\displaystyle y_0\in J \). Allora si avrà:
1) se \(\displaystyle g(y_0)=0 \) allora \(\displaystyle y(t)=y_0 \forall t \in \mathbb{R} \) è soluzione non necessariamente unica;
2) se \(\displaystyle g(y_0)\neq 0 \) allora esiste \(\displaystyle \varepsilon>0 \) e una funzione \(\displaystyle y:]t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon[\rightarrow J \) con \(\displaystyle y \) unica soluzione in tale intervallo del problema di Cauchy:
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
y'=f(t)g(y) \\
y(t_0)=y_0 \\
\end{array}
$$
Ora, credo di non aver afferrato il significato di tale teorema.. Cosa si intende per unicità della soluzione di un'equazione differenziale?
Grazie dell'aiuto!
Sia \(\displaystyle y'=f(t)g(y) \) equazione differenziale ordinaria di primo ordine a variabili separabili (con \(\displaystyle f:I\rightarrow\mathbb{R} \), \(\displaystyle g:J\rightarrow\mathbb{R} \), \(\displaystyle I,J \) intervalli aperti e \(\displaystyle f,g \) continue); siano inoltre \(\displaystyle t_0\in I \) e \(\displaystyle y_0\in J \). Allora si avrà:
1) se \(\displaystyle g(y_0)=0 \) allora \(\displaystyle y(t)=y_0 \forall t \in \mathbb{R} \) è soluzione non necessariamente unica;
2) se \(\displaystyle g(y_0)\neq 0 \) allora esiste \(\displaystyle \varepsilon>0 \) e una funzione \(\displaystyle y:]t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon[\rightarrow J \) con \(\displaystyle y \) unica soluzione in tale intervallo del problema di Cauchy:
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
y'=f(t)g(y) \\
y(t_0)=y_0 \\
\end{array}
$$
Ora, credo di non aver afferrato il significato di tale teorema.. Cosa si intende per unicità della soluzione di un'equazione differenziale?
Grazie dell'aiuto!
Risposte
che in quelle ipotesi per il punto $(t_0;y_0)$ hai la certezza che passa una ed una sola curva soluzione del problema di Cauchy, per $t\in [t_0+\varepsilon;t_0+\varepsilon].$
"Noisemaker":
che in quelle ipotesi per il punto $(t_0;y_0)$ hai la certezza che passa una ed una sola curva soluzione del problema di Cauchy, per $t\in [t_0+\varepsilon;t_0+\varepsilon].$
Grazie della risposta..
Possiamo quindi dire che in quelle ipotesi è certo che esista una soluzione....
Ma in che senso "per \(\displaystyle t\in ]t_0-\varepsilon;t_0+\varepsilon[ \)"? Nel senso che viene considerata solo la parte della curva in quell'intorno di \(\displaystyle t_0 \)? Sicuramente riguarda il fatto di essere locale della soluzione.. Ma a tal proposito che differenza c'è tra locale e globale?
la soluzione esite ed è unica in quelle ipotesi; si diciamo di si: viene considerata solo quella parte di curva, ma in realtà quello che il teorema ti dice, è che per quel punto limitatamente all' intervallo considerato, hai sicuramente una sola soluzione del PdC. La differenza tra esistanza locale ed esistenza globale la comprendi meglio secondo me con la dimostarzione del teorema di esistenza ed unicità generale.
"Noisemaker":
la soluzione esite ed è unica in quelle ipotesi; si diciamo di si: viene considerata solo quella parte di curva, ma in realtà quello che il teorema ti dice, è che per quel punto limitatamente all' intervallo considerato, hai sicuramente una sola soluzione del PdC. La differenza tra esistanza locale ed esistenza globale la comprendi meglio secondo me con la dimostarzione del teorema di esistenza ed unicità generale.
Ok ok! Ancora non ci sono arrivato al teorema di esistenza e unicità generale... La mia incomprensione riguardava il fatto che dalle dispense da cui sto studiando si passa dalla definizione di equazione differenziale a variabili separabili (con qualche esempio di risoluzione) all'enunciare direttamente questo risultato.... Lasciando un po' spiazzato il lettore..
Concretamente parlando, la soluzione \(\displaystyle y:]t_0-\varepsilon , t_0+\varepsilon[\rightarrow J \), prima citata, non è altro che la soluzione finale \(\displaystyle y(t) \) dell'equazione differenziale considerata (quella ottenuta integrando le variabili separatamente)....
Il punto è che quella soluzione potrebbe non essere unica globalmente.
Prova, ad esempio, a trovare le soluzioni dell'equazione \(y' = (x-1)\sqrt{|x|}\).
Se prendi un dato iniziale del tipo \(y(0) = y_0 \in (0,1)\) hai unicità locale (nel senso del teorema da te citato), ma quella soluzione si può raccordare (in avanti) con la soluzione nulla per poi uscirne in qualsiasi punto.
Prova, ad esempio, a trovare le soluzioni dell'equazione \(y' = (x-1)\sqrt{|x|}\).
Se prendi un dato iniziale del tipo \(y(0) = y_0 \in (0,1)\) hai unicità locale (nel senso del teorema da te citato), ma quella soluzione si può raccordare (in avanti) con la soluzione nulla per poi uscirne in qualsiasi punto.
"Rigel":
Il punto è che quella soluzione potrebbe non essere unica globalmente.
Prova, ad esempio, a trovare le soluzioni dell'equazione \(y' = (x-1)\sqrt{|x|}\).
Se prendi un dato iniziale del tipo \(y(0) = y_0 \in (0,1)\) hai unicità locale (nel senso del teorema da te citato), ma quella soluzione si può raccordare (in avanti) con la soluzione nulla per poi uscirne in qualsiasi punto.
Giusto! Quindi devo precisare che: concretamente parlando, la soluzione \(\displaystyle y:]t0−ε,t0+ε[→J \), prima citata, non è altro che la soluzione finale \(\displaystyle y(t) \) dell'equazione differenziale considerata (quella ottenuta integrando le variabili separatamente), a patto che venga considerata come soluzione ristretta all'intorno \(\displaystyle ]t_0−ε,t_0+ε[ \)!
Dico bene? Mi piacerebbe proporre un esempio per concretizzare il teorema se posso....
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