Esistenza derivate parziali
Salve a tutti, prima di tutto scusate per il disturbo, ma desideravo porvi un problema:
avendo una funzione di 2 variabili: \(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \), dovrei determinare se esistono in (0,0) le derivate parziali prime.
Il primo metodo con cui intendo procedere è quello di applicare la definizione di rapporto incrementale:
\(\displaystyle f'(x,y)=lim(h\rightarrow0)\frac{f(x+h,y+h)-f(x,y)}{h} \)
Visto che a me ad esempio interessa studiare la derivata parziale prima rispetto alla x, posso applicare la seguente formula:
\(\displaystyle f_{x}(x,y)=lim(h\rightarrow0)\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=lim(h\rightarrow0)\frac{\sqrt{h^{2}}}{h}=lim(h\rightarrow0)\frac{|h|}{h}=\pm1 \)
e quindi ottenere che avendo trovato 2 diversi valori per la stessa derivata rispetto alla stessa variabile non può esistere derivata parziale rispetto alla x in quel punto. Faccio lo stesso ragionamento per la variabile y, e ne traggo semmai le stesse considerazioni.
Secondo voi è giusto questo ragionamento?
Un altro metodo è però quello di calcolare le derivate parziali e vedere dove sono definite:
\(\displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \)
\(\displaystyle f_{y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \)
Si vede immediatamente che le 2 funzioni non sono definite nel punto (0,0), da cui concluderei che il suddetto punto non presenta derivate prime rispetto alla x ed alla y. E' corretto questo secondo ragionamento oppure è solamente un caso che venga in questo esercizio?
Grazie di tutto
Distinti saluti
Enrico Catanzani
avendo una funzione di 2 variabili: \(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \), dovrei determinare se esistono in (0,0) le derivate parziali prime.
Il primo metodo con cui intendo procedere è quello di applicare la definizione di rapporto incrementale:
\(\displaystyle f'(x,y)=lim(h\rightarrow0)\frac{f(x+h,y+h)-f(x,y)}{h} \)
Visto che a me ad esempio interessa studiare la derivata parziale prima rispetto alla x, posso applicare la seguente formula:
\(\displaystyle f_{x}(x,y)=lim(h\rightarrow0)\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=lim(h\rightarrow0)\frac{\sqrt{h^{2}}}{h}=lim(h\rightarrow0)\frac{|h|}{h}=\pm1 \)
e quindi ottenere che avendo trovato 2 diversi valori per la stessa derivata rispetto alla stessa variabile non può esistere derivata parziale rispetto alla x in quel punto. Faccio lo stesso ragionamento per la variabile y, e ne traggo semmai le stesse considerazioni.
Secondo voi è giusto questo ragionamento?
Un altro metodo è però quello di calcolare le derivate parziali e vedere dove sono definite:
\(\displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \)
\(\displaystyle f_{y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \)
Si vede immediatamente che le 2 funzioni non sono definite nel punto (0,0), da cui concluderei che il suddetto punto non presenta derivate prime rispetto alla x ed alla y. E' corretto questo secondo ragionamento oppure è solamente un caso che venga in questo esercizio?
Grazie di tutto
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Risposte
Un caso che si presenta già per funzioni di una variabile.
Ad esempio, la funzione \(f(x):= x^2\sin \frac{1}{x}\) è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), nonostante la sua derivata (definita fuori dallo \(0\) mediante \(f^\prime (x) := 2x\sin \frac{1}{x} -\cos \frac{1}{x}\)) non si possa prolungare su \(0\) con continuità.
Ad esempio, la funzione \(f(x):= x^2\sin \frac{1}{x}\) è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), nonostante la sua derivata (definita fuori dallo \(0\) mediante \(f^\prime (x) := 2x\sin \frac{1}{x} -\cos \frac{1}{x}\)) non si possa prolungare su \(0\) con continuità.
OK, grazie molte.
"gugo82":
[...] la funzione \(f(x):= x^2\sin \frac{1}{x}\) è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\)
Ciao Gugo, potresti chiarire questo fatto? Grazie!
"Plepp":
[quote="gugo82"]
[...] la funzione \(f(x):= x^2\sin \frac{1}{x}\) è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\)
Ciao Gugo, potresti chiarire questo fatto? Grazie![/quote]
Fuori da \(0\) la funzione è derivabile per ovvi motivi.
In \(0\) basta usare la definizione di derivata.
Ma come fa ad essere derivabile in 0 se non è continua?! Non capisco 
Ma come non è continua in \(0\)... Mi cadono le braccia, dato che quella roba lì si prolunga su \(0\) con continuità in modo banale.
Sì che è continua, considerando che $\lim_{x\to 0} (sin x)/x=1$, basta porre che in $0$ la funzione valga $0$. E' un'eliminazione banale della discontinuità.
Paola
Paola
Si Paola, ok, qui ci arrivo anch'io...Però, perdonatemi, mi pare errato dire che $f(x)$ (come l'ha definita Gugo) è continua! Lo è (ovviamente) quello che viene detto prolungamento continuo $f_\sim$ di $f$, che però è UN'ALTRA funzione
Bah...Fermatemi se dico baggianate...
Bah...Fermatemi se dico baggianate...
Non dici baggianate, ma la tua domanda originale allora non ha fondamento e avresti potuto risponderti da solo se, come dici, "fin lì ci arrivavi anche tu".
Paola
Paola
Eh no...data la precisione di Gugo non mi sono preoccupato di capire se ci fosse qualcosa di sottinteso 
Vabè, l'importante è che abbiamo chiarito! Stavano per venire meno alcune certezze
Vabè, l'importante è che abbiamo chiarito! Stavano per venire meno alcune certezze
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