Esistenza applicazione lineare dati Kerf e Imf specifici

[Ponzi93]

Esistenza applicazione lineare dati Kerf e Imf
Buongiorno a tutti! Ho un problema con il seguente esercizio:
Esiste una applicazione lineare f:[math]\Re^{4}\longrightarrow\Re^{4}[\math] diagonalizzabile tale che [math]Kerf=Imf=[\math].

Io penso che non esista poichè non trovo quattro autovettori adatti sui quali descrivere l'applicazione con queste caratteristiche. Utilizzando il concetto di autovettori, autovalori:
[math]f(1,2,1,1)=0(1,2,1,1)=(0,0,0,0)\lmbda=0[\math]
[math]f(2,1,3,-1)=0(2,1,3,-1)=(0,0,0,0)\lmbda=0[\math]
dove soddisfo la richiesta di Kerf
[math]f((2,4,2,2)=(\frac{1}{2})(2,4,2,2)=(1,2,1,1)\lmbda=(\frac{1}{2})[\math]
[math]f(2,1,3,-1)=1(2,1,3,-1)=(2,1,3,-1)\lmbda=1[\math]
dove si soddisfano le condizioni su Imf,
Ma non è un'applicazione poichè non è definita su una base di [math]\Re^{4}[\math].

[davi02]

La risposta, negativa, non dipende dai due vettori.

Dati due vettori

[math]v_1, v_2[/math]

linearmente indipendenti in

[math]R^4[/math]

, non esiste una applicazione lineare

[math]f : R^4 \to R^4[/math]

diagonalizzabile tale che

[math]\text{Ker} f = \text{Im} f = [/math]

.


Supponiamo, per assurdo, che esista una tale

[math]f[/math]

.

Allora esiste una base di autovettori di

[math]f[/math]

, tra i quali

[math]v_1, v_2[/math]

, dato che questi sono autovettori relativi all’autovalore 0. Sia

[math]B = \{v_1, v_2, w_1, w_2\}[/math]

questa base di autovettori.

[math]w_1, w_2[/math]

sono autovettori relativi ad autovalori non nulli, dato che non possono stare in

[math]\text{Ker} f[/math]

, cioè

[math]f(w_1) = \lambda_1 w_1[/math]

,

[math]f(w_2) = \lambda_2 w_2[/math]

, con

[math]\lambda_1 \neq 0[/math]

,

[math]\lambda_2 \neq 0[/math]

.

Ma allora

[math]\text{Im} f = = = \neq [/math]

.