Esercizio teorico sulle funzioni olomorfe
Sia $f : CC -> CC$ una funzione olomorfa su tutto $CC$ tale che:
$lim_{|z| -> +oo} \ \frac{|f(z)|}{e^{|z|}} = 0$.
Dimostrare che allora è un polinomio.
Ho pensato alla formula integrale dei coefficienti della serie di potenze associate, ma non sono riuscito a concludere nulla. Qualcuno sa darmi una mano?
$lim_{|z| -> +oo} \ \frac{|f(z)|}{e^{|z|}} = 0$.
Dimostrare che allora è un polinomio.
Ho pensato alla formula integrale dei coefficienti della serie di potenze associate, ma non sono riuscito a concludere nulla. Qualcuno sa darmi una mano?
Risposte
Butto giù una trovata senza rifletterci molto:
c'è un teorema che conosci sicuramente, di Liouville, secondo cui se $|f(z)|=O(|P(z)|)$ per $|z|\toinfty$ e $P$ è un polinomio, allora pure $f$ è un polinomio e di grado più basso.
Allora tu per ipotesi hai: $0=lim_{|z|\toinfty}(|f(z)|)/(e^{|z|})=lim_{|z|\toinfty} lim_{n\toinfty} (|f(z)|)/(sum_{k=0}^n(|z|)^k/(k!)$. Se gli ultimi due limiti si possono scambiare hai allora che $lim_{n\toinfty}lim_{|z|\toinfty}(|f(z)|)/(|P_n(z)|)=0$ dove $P_n$ è un polinomio di grado $n$.
Quindi, a patto di scegliere $n$ sufficientemente grande, puoi avere sul modulo di $f$ un controllo polinomiale. E qui entra in gioco Liouville e concludi.
Non so però se possa funzionare e nemmeno escludo che ci siano errori grossolani... Che ne pensi?
c'è un teorema che conosci sicuramente, di Liouville, secondo cui se $|f(z)|=O(|P(z)|)$ per $|z|\toinfty$ e $P$ è un polinomio, allora pure $f$ è un polinomio e di grado più basso.
Allora tu per ipotesi hai: $0=lim_{|z|\toinfty}(|f(z)|)/(e^{|z|})=lim_{|z|\toinfty} lim_{n\toinfty} (|f(z)|)/(sum_{k=0}^n(|z|)^k/(k!)$. Se gli ultimi due limiti si possono scambiare hai allora che $lim_{n\toinfty}lim_{|z|\toinfty}(|f(z)|)/(|P_n(z)|)=0$ dove $P_n$ è un polinomio di grado $n$.
Quindi, a patto di scegliere $n$ sufficientemente grande, puoi avere sul modulo di $f$ un controllo polinomiale. E qui entra in gioco Liouville e concludi.
Non so però se possa funzionare e nemmeno escludo che ci siano errori grossolani... Che ne pensi?
Io prenderei $g(z):=f(1/z)$ e cercherei di dimostrare che $g$ ha un polo in zero. Se cosi' non fosse avrebbe una singolarita' essenziale
e allora in un qualunque intorno di zero assumerebbe tutti i valori complessi eccetto uno (teorema di Picard). Mi pare che questo non sia possibile
con la proprieta' che hai.
EDIT Mi pareva , ma ora non mi pare piu'
Pero' il metodo mi sembra ragionevole .... bell'esercizio comunque.
e allora in un qualunque intorno di zero assumerebbe tutti i valori complessi eccetto uno (teorema di Picard). Mi pare che questo non sia possibile
con la proprieta' che hai.
EDIT Mi pareva , ma ora non mi pare piu'
Pero' il metodo mi sembra ragionevole .... bell'esercizio comunque.
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