Esercizio teorema di Stokes
Salve e buon anno nuovo a tutti! 
Ho svolto un esercizio riguardante il teorema di Stokes ottenendo una incongruenza di risultati.
Praticamente l'esercizio chiede di calcolare il flusso del rotore uscente di $V$ attraverso $\Sigma$ tramite la definizione di integrale di flusso e applicando il teorema di Stokes.
I dati sono i seguenti:
$V-=(x-z,x+z,x+y+z)$
$\Sigma-={(x,y,z)\inRR^3: x^2+z^2=y , 0<=y<=1}$
Mi calcolo il rotore di $V$ :
$rot(V)=|(\veci,\vecj,\veck),((delV)/(delx),(delV)/(dely),(delV)/(delz)),(x-z,x+z,x+y+z)|=(1-1)\veci+(-1+1)\vecj+(1)\veck=\veck$
Parametrizzo $\Sigma$:
$\Sigma-={(x=sqrt(u)cosv),(y=u),(z=sqrt(u)sinv):}$
$u\in[0,1]$ , $v\in[0,2pi]$
Mi calcolo il versore normale:
$\Sigma_u-=[(1/(2sqrt(u))cosv),(1),(1/(2sqrt(u))sinv)]$
$\Sigma_v-=[(-sqrt(u)sinv),(0),(sqrt(u)cosv)]$
$\vecn=|(\veci,\vecj,\veck),(1/(2sqrt(u))cosv,1,1/(2sqrt(u))sinv),(-sqrt(u)sinv,0,sqrt(u)cosv)|=sqrt(u)cosv\veci+(-1/2)\vecj+sqrt(u)sinv\veck$
Calcolo l'integrale:
$int_\Sigmarot(V)\cdot\vecnd\sigma=int_0^(2pi)int_0^(1)sqrt(u)sinvdudv=0$
in quanto $int_0^(2pi)sinvdv=0$
Quindi, applicando la definizione di integrale di flusso concludo che $\Phi_\Sigma(rot(V))=0$
Adesso passo all'applicazione del teorema.
Il bordo di $\Sigma$ dovrebbe essere una circonferenza di raggio 1 posta nel piano xz con y=1, quindi considerando che il flusso deve essere uscente, mi risulta che:
$del\Sigma={(x=sint),(y=1),(z=cost):}$
$t\in[0,2pi]$
$del\Sigma'-=[(cost),(0),(-sint)]$
Calcolo quindi la circuitazione:
$int_0^(2pi)(sint-cost)(cost)+(sint+cost+1)(-sint)dt=-int_0^(2pi)dt=-2pi$
Risultato non in accordo a quello precedente.
Ora come ora non riesco a trovare l'errore, quindi ogni consiglio/osservazione è ben accetta!
Come sempre grazie in anticipo a tutti!
Ho svolto un esercizio riguardante il teorema di Stokes ottenendo una incongruenza di risultati.
Praticamente l'esercizio chiede di calcolare il flusso del rotore uscente di $V$ attraverso $\Sigma$ tramite la definizione di integrale di flusso e applicando il teorema di Stokes.
I dati sono i seguenti:
$V-=(x-z,x+z,x+y+z)$
$\Sigma-={(x,y,z)\inRR^3: x^2+z^2=y , 0<=y<=1}$
Mi calcolo il rotore di $V$ :
$rot(V)=|(\veci,\vecj,\veck),((delV)/(delx),(delV)/(dely),(delV)/(delz)),(x-z,x+z,x+y+z)|=(1-1)\veci+(-1+1)\vecj+(1)\veck=\veck$
Parametrizzo $\Sigma$:
$\Sigma-={(x=sqrt(u)cosv),(y=u),(z=sqrt(u)sinv):}$
$u\in[0,1]$ , $v\in[0,2pi]$
Mi calcolo il versore normale:
$\Sigma_u-=[(1/(2sqrt(u))cosv),(1),(1/(2sqrt(u))sinv)]$
$\Sigma_v-=[(-sqrt(u)sinv),(0),(sqrt(u)cosv)]$
$\vecn=|(\veci,\vecj,\veck),(1/(2sqrt(u))cosv,1,1/(2sqrt(u))sinv),(-sqrt(u)sinv,0,sqrt(u)cosv)|=sqrt(u)cosv\veci+(-1/2)\vecj+sqrt(u)sinv\veck$
Calcolo l'integrale:
$int_\Sigmarot(V)\cdot\vecnd\sigma=int_0^(2pi)int_0^(1)sqrt(u)sinvdudv=0$
in quanto $int_0^(2pi)sinvdv=0$
Quindi, applicando la definizione di integrale di flusso concludo che $\Phi_\Sigma(rot(V))=0$
Adesso passo all'applicazione del teorema.
Il bordo di $\Sigma$ dovrebbe essere una circonferenza di raggio 1 posta nel piano xz con y=1, quindi considerando che il flusso deve essere uscente, mi risulta che:
$del\Sigma={(x=sint),(y=1),(z=cost):}$
$t\in[0,2pi]$
$del\Sigma'-=[(cost),(0),(-sint)]$
Calcolo quindi la circuitazione:
$int_0^(2pi)(sint-cost)(cost)+(sint+cost+1)(-sint)dt=-int_0^(2pi)dt=-2pi$
Risultato non in accordo a quello precedente.
Ora come ora non riesco a trovare l'errore, quindi ogni consiglio/osservazione è ben accetta!
Come sempre grazie in anticipo a tutti!
Risposte
"Gost91":
Salve e buon anno nuovo a tutti!
Ho svolto un esercizio riguardante il teorema di Stokes ottenendo una incongruenza di risultati.
Praticamente l'esercizio chiede di calcolare il flusso del rotore uscente di $V$ attraverso $\Sigma$ tramite la definizione di integrale di flusso e applicando il teorema di Stokes.
I dati sono i seguenti:
$V-=(x-z,x+z,x+y+z)$
$\Sigma-={(x,y,z)\inRR^3: x^2+z^2=y , 0<=y<=1}$
Mi calcolo il rotore di $V$ :
$rot(V)=|(\veci,\vecj,\veck),((delV)/(delx),(delV)/(dely),(delV)/(delz)),(x-z,x+z,x+y+z)|=(1-1)\veci+(-1+1)\vecj+(1)\veck=\veck$
Perchè spariscono le lettere x y z ?
Parametrizzo $\Sigma$:
$\Sigma-={(x=sqrt(u)cosv),(y=u),(z=sqrt(u)sinv):}$
$u\in[0,1]$ , $v\in[0,2pi]$
Mi calcolo il versore normale:
$\Sigma_u-=[(1/(2sqrt(u))cosv),(1),(1/(2sqrt(u))sinv)]$
$\Sigma_v-=[(-sqrt(u)sinv),(0),(sqrt(u)cosv)]$
Perchè non sono "simmetrici" ?
Come fai a calcolarli ?
Ma poi perchè la normale è espressa in due parti.
Un vettore sono 3 componenti, in questo caso ognuna funzione di u,v. Onestamente non capisco.
$\vecn=|(\veci,\vecj,\veck),(1/(2sqrt(u))cosv,1,1/(2sqrt(u))sinv),(-sqrt(u)sinv,0,sqrt(u)cosv)|=sqrt(u)cosv\veci+(-1/2)\vecj+sqrt(u)sinv\veck$
Calcolo l'integrale:
$int_\Sigmarot(V)\cdot\vecnd\sigma=int_0^(2pi)int_0^(1)sqrt(u)sinvdudv=0$
in quanto $int_0^(2pi)sinvdv=0$
Quindi, applicando la definizione di integrale di flusso concludo che $\Phi_\Sigma(rot(V))=0$
Adesso passo all'applicazione del teorema.
Il bordo di $\Sigma$ dovrebbe essere una circonferenza di raggio 1 posta nel piano xz con y=1, quindi considerando che il flusso deve essere uscente, mi risulta che:
$del\Sigma={(x=sint),(y=1),(z=cost):}$
$t\in[0,2pi]$
$del\Sigma'-=[(cost),(0),(-sint)]$
Calcolo quindi la circuitazione:
$int_0^(2pi)(sint-cost)(cost)+(sint+cost+1)(-sint)dt=-int_0^(2pi)dt=-2pi$
Risultato non in accordo a quello precedente.
Ora come ora non riesco a trovare l'errore, quindi ogni consiglio/osservazione è ben accetta!
Come sempre grazie in anticipo a tutti!
Ciao Quinzio, scusa se mi sono espresso male.
Allora per prima cosa mi sono ricavato il rotore di $V$ calcolando il determinante della matrice simbolica, cioè:
$rot(V)=A\veci+B\vecj+C\veck$
con
$A=(\del(x+y+z))/(\dely)-(\del(x+z))/(\delz)=1-1=0$
$B=(\del(x-z))/(\delz)-(\del(x+y+z))/(\delx)=-1+1=0$
$C=(\del(x+z))/(\delx)-(\del(x-z))/(\dely)=1$
La normale me la ricavo eseguendo il prodotto vettoriale tra i vettori tangenti alla superficie $\Sigma_u$ e $\Sigma_v$.
Ha per componenti funzioni di u e v perchè la superficie in questione non è "piatta", in ogni punto essa varia di direzione in funzione del punto della superficie che si considera.
Per quanto riguarda la domanda sulla simmetria non ho ben capito cosa intendi.
Allora per prima cosa mi sono ricavato il rotore di $V$ calcolando il determinante della matrice simbolica, cioè:
$rot(V)=A\veci+B\vecj+C\veck$
con
$A=(\del(x+y+z))/(\dely)-(\del(x+z))/(\delz)=1-1=0$
$B=(\del(x-z))/(\delz)-(\del(x+y+z))/(\delx)=-1+1=0$
$C=(\del(x+z))/(\delx)-(\del(x-z))/(\dely)=1$
La normale me la ricavo eseguendo il prodotto vettoriale tra i vettori tangenti alla superficie $\Sigma_u$ e $\Sigma_v$.
Ha per componenti funzioni di u e v perchè la superficie in questione non è "piatta", in ogni punto essa varia di direzione in funzione del punto della superficie che si considera.
Per quanto riguarda la domanda sulla simmetria non ho ben capito cosa intendi.
IL determinante della matrice è:
$rot(V)=|(\veci,\vecj,\veck),((delV)/(delx),(delV)/(dely),(delV)/(delz)),(x-z,x+z,x+y+z)|=-(x+z)\veci-(y+2z)\vecj+(x+z)\veck$
Per il vettore normale c'è qualcosa che non va.
Io prenderei la funzione $x^2+y^2-z=0$ e calcolo il gradiente: $2x \veci+2y \vecj -veck$. Il gradiente è sempre normale ad una superficie "costante", "di livello".
$rot(V)=|(\veci,\vecj,\veck),((delV)/(delx),(delV)/(dely),(delV)/(delz)),(x-z,x+z,x+y+z)|=-(x+z)\veci-(y+2z)\vecj+(x+z)\veck$
Per il vettore normale c'è qualcosa che non va.
Io prenderei la funzione $x^2+y^2-z=0$ e calcolo il gradiente: $2x \veci+2y \vecj -veck$. Il gradiente è sempre normale ad una superficie "costante", "di livello".
"Gost91":
Mi calcolo il rotore di $V$ :
$rot(V)=|(\veci,\vecj,\veck),((delV)/(delx),(delV)/(dely),(delV)/(delz)),(x-z,x+z,x+y+z)|=(1-1)\veci+(-1+1)\vecj+(1)\veck=\veck$
Se $V = (P,Q,R)$
$rot(V) = ((delR)/(dely)-(delQ)/(delz),(delP)/(delz)-(delR)/(delx),(delQ)/(delx)-(delP)/(dely))$
Nel tuo caso
$rot(V) = ((1-1),(-1-1),(1))$
Ok, ok, ho scritto una.... grazie per la correzione.
Quella matrice ce l'ho anche io sul libro, viene presentata come un modo per "ricordare" come si calcola il rotore di un campo vettoriale. Tra l'altro è anche abbastanza fuorviante... e su un compito d'esame universitario non ce lo scriverei mai.
Per ricordarmi il rotore preferisco quest'altro metodo:
Dato un campo $V(x,y,z) = (P,Q,R)$, si parte dall'ultima coppia, $(Q,R)$ e si fa $delR-delQ$. Poi si passa alla coppia successiva $(R,P)$ e si fa' $delP-delR$. Infine l'ultima coppia $(P,Q)$ e si fa' sempre la seconda meno l'ultima
Math for dummies XD. Ma senza questi mezzucci per me sarebbe dura
Per ricordarmi il rotore preferisco quest'altro metodo:
Dato un campo $V(x,y,z) = (P,Q,R)$, si parte dall'ultima coppia, $(Q,R)$ e si fa $delR-delQ$. Poi si passa alla coppia successiva $(R,P)$ e si fa' $delP-delR$. Infine l'ultima coppia $(P,Q)$ e si fa' sempre la seconda meno l'ultima
Math for dummies XD. Ma senza questi mezzucci per me sarebbe dura
Ho provato a rieseguire l'esercizio.
Non sono una cima a fare i conti, ma mi tornano sempre i soliti 2 risultati.
Non è che siano sbagliate le parametrizzazioni?
Non sono una cima a fare i conti, ma mi tornano sempre i soliti 2 risultati.
Non è che siano sbagliate le parametrizzazioni?
"Gost91":
Ho provato a rieseguire l'esercizio.
Non sono una cima a fare i conti, ma mi tornano sempre i soliti 2 risultati.
Non è che siano sbagliate le parametrizzazioni?
No, è sbagliato il rotore. E è sbagliata la matrice che usi per calcolarlo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Rotore_(matematica)
Il rotore giusto è:
$rot(V)=(0,-2,1)$
Se provi a calcolare il flusso del rotore con questo rotore ti viene che il primo integrale è uguale a $-2pi$
Lo dicevo che non sono una cima a fare i conti!
Grazie mille!
Grazie mille!
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