Esercizio teorema del Dini
Salve ragazzi ho questa funzione:
$F(x,y)=x^3+2y^3+xy-4y^2+2y$.
L'esercizio mi chiede di stabilire se la funz $F(x,y)=0$ è risolubile rispetto ad una delle variabili in un intorno del punto $(0,1)$ ed ho controllato ed è risolvibile rispetto alla variabile x. Dunque per Dini ho che: $\EE!y: y=f(x)$.
Come secondo punto mi dice di chiamare la funz implicita come: $g(*)$ e di calcolare $g'(1)$ ed interpretare geometricamente il risultato. Il mio problema è qui:
Premesso che ho ricontrollato i conti e non credo di aver sbagliato qualcosa, ho questo:
$g'(x_0)=-(delyF(x_0,y_0))/(delxF(x_0,y_0))$
Dunque nel mio caso ho: $g'(1)=0$. Se tutto è corretto dovrei interpetare il risultato nel senso ke il punto $y=1$ è punto stazionario per la funzione di una variabile del tipo $x=g(y)$ e quindi la derivata in 1 è costante. Tuttavia ho la sensazione di aver sbagliato qualcosa anche perchè non so come ricaravare da quest'ultima relazione la funzione g(y).
Potreste gentilmente chiarire i miei dubbi? Grazie in anticipo
$F(x,y)=x^3+2y^3+xy-4y^2+2y$.
L'esercizio mi chiede di stabilire se la funz $F(x,y)=0$ è risolubile rispetto ad una delle variabili in un intorno del punto $(0,1)$ ed ho controllato ed è risolvibile rispetto alla variabile x. Dunque per Dini ho che: $\EE!y: y=f(x)$.
Come secondo punto mi dice di chiamare la funz implicita come: $g(*)$ e di calcolare $g'(1)$ ed interpretare geometricamente il risultato. Il mio problema è qui:
Premesso che ho ricontrollato i conti e non credo di aver sbagliato qualcosa, ho questo:
$g'(x_0)=-(delyF(x_0,y_0))/(delxF(x_0,y_0))$
Dunque nel mio caso ho: $g'(1)=0$. Se tutto è corretto dovrei interpetare il risultato nel senso ke il punto $y=1$ è punto stazionario per la funzione di una variabile del tipo $x=g(y)$ e quindi la derivata in 1 è costante. Tuttavia ho la sensazione di aver sbagliato qualcosa anche perchè non so come ricaravare da quest'ultima relazione la funzione g(y).
Potreste gentilmente chiarire i miei dubbi? Grazie in anticipo
Risposte
Ovviamente, visto che devi calcolare $g'(1)$, stiamo supponendo di aver esplicitato come $x=g(y)$. Quello che puoi dire è che la curva di livello $F(x,y)=0$ ha in $(0,1)$ tangente parallela all'asse delle $y$ (in quanto stai studiando una curva del tipo $x=g(y)$ la cui derivata è nulla in tale punto). In generale, non puoi scrivere esplicitamente come è fatta $g(y)$ (e del resto, nenahce ti viene chiesto dall'esercizio, se ci pensi un po').
ok grazie mille ciampaz avevo interpretato bene il risultato allora! Un ultima domanda: se ad esempio un esercizio mi chiedesse di calcolare la funzione implicita, sarebbe sbagliato partire dalla sua derivata? oppure con quelche artificio di integrazione potrei ricavarmi la funzione a partire dalla sua derivata? mi riferisco ala formula che ho scritto prima!
Da quella formula non puoi ricavare la funzione! Quella formula vale solo localmente e in particolare per il punto che stai analizzando 8da teorema del Dini). Fidati che difficilmente ti verrà chiesto di esplicitare "esplicitamente" la funzione!
ok grazie ciampax! L'ho chiesto perchè effettivamente c'è un esercizio che ci ha dato il prof che chiede "esplicitamente" di calcolarla tu cosa mi consigli? Senti per chiarezza riguardo al messaggio di prima tu hai detto: "Quello che puoi dire è che la curva di livello $F(x,y)=0$ ha in (0,1) tangente parallela all'asse delle y (in quanto stai studiando una curva del tipo $x=g(y)$ la cui derivata è nulla in tale punto)." ma per parallela all'ase y intendi l'asse delle ordinate oppure considerando il grafico capovolto? Mi spiego: siccome sto considerando la funzione $x=g(y)$ la mia tangente nel punto (0,1) sarà parallela all'asse delle ordinate (che sarebbe l'asse x del grafico capovolto) giusto?
Sempre parallela all'asse $y$ risulta! 
Scrivi un po' questo esercizio dove ti si richiede il calcolo esplicito.
Scrivi un po' questo esercizio dove ti si richiede il calcolo esplicito.
Grazie mille scusa per la domanda sciocca ma non ci ho fatto caso!XD 
Allora l'esercizio è il seguente: $F(x,y)=x^2-2xy+y^2+x+y-2$; $F(1,0);F(1,1)$ punti in cui si annulla la F.
Calcolare $y=f(x);f'(x),f''(x)$ in $x=1$ e scrivere equazione della retta tangente nei punti (1,1) e (1,0)!
P.S. Ho un altro esercizio in cui addirittura non mi da nemmeno il punto in cui calcolare la funzione!
Allora l'esercizio è il seguente: $F(x,y)=x^2-2xy+y^2+x+y-2$; $F(1,0);F(1,1)$ punti in cui si annulla la F.
Calcolare $y=f(x);f'(x),f''(x)$ in $x=1$ e scrivere equazione della retta tangente nei punti (1,1) e (1,0)!
P.S. Ho un altro esercizio in cui addirittura non mi da nemmeno il punto in cui calcolare la funzione!
In questo esercizio ti chiede di calcolare il tutto in $x=1$, per cui, come vedi, non devi esplicitare un bel niente (in generale). Dal momento che $\nabla F=(2x-2y+1,-2x+2y+1)$ è immediato verificare che il gradiente non si annulla mai. Ora, dal momento che $F(1,0)=F(1,1)=0$ segue che vogliamo trovare il valore $y_0=f(1)$... e questi sono addirittura due valori rispettivamente $0$ e $1$! Sapresti dirmi il perché?
Credo che segua direttamente dal teorema. Cioè il teorema del Dini con le varie ipotesi dimostra:
$EE f(1-a,1+a)-->(y_0-b,y_0+b)$ tale che:
1) $f(1)=y_0$
2) $F(1,f(1))=0$ ecc.... giusto?
$EE f(1-a,1+a)-->(y_0-b,y_0+b)$ tale che:
1) $f(1)=y_0$
2) $F(1,f(1))=0$ ecc.... giusto?
Scusa ciampax a scanso di equivoci intendo:
$F(1,f(1))=0$ con $f(1)=(1,0)$ sbaglio qualcosa?
$F(1,f(1))=0$ con $f(1)=(1,0)$ sbaglio qualcosa?
Esatto (scusa il ritardo nel risponderti ma ho avuto da fare!9
ok grazie mille tranquillo non pretendo risposte rapide
Ne approfitto per postare qui un altra domanda per evitare di aprire topic inutili: per quanto riguarda la derivata di della funzione implicita so che:
$f'(x_0)=-(delxF(x_0,y_0))/(delyf(x_0,y_0))$
La derivata seconda corrisponde al rapporto tra la derivata parziale seconda rispetto ad x e la derivata prima parziale rispetto ad y. In generale le derivate successive saranno costituite dalle derivate parziali successive rispetto ad x rapporto con la derivata parziale in y? Mi spiego:
$f^n(x_0)=-(delx_nF(x_0,y_0))/(delyF(x_0,y_0))$ è giusto?
Ne approfitto per postare qui un altra domanda per evitare di aprire topic inutili: per quanto riguarda la derivata di della funzione implicita so che:
$f'(x_0)=-(delxF(x_0,y_0))/(delyf(x_0,y_0))$
La derivata seconda corrisponde al rapporto tra la derivata parziale seconda rispetto ad x e la derivata prima parziale rispetto ad y. In generale le derivate successive saranno costituite dalle derivate parziali successive rispetto ad x rapporto con la derivata parziale in y? Mi spiego:
$f^n(x_0)=-(delx_nF(x_0,y_0))/(delyF(x_0,y_0))$ è giusto?
"paolotesla91":
La derivata seconda corrisponde al rapporto tra la derivata parziale seconda rispetto ad x e la derivata prima parziale rispetto ad y.
Sì, e i maiali volano!
Hai provato a fare la derivata di $f'=-{F_x}/{F_y}$ e vedere cosa viene fuori? Perché potresti rimanere sorpreso della risposta.
o.O.... No scusa ciampax ma sul mio libro c'è il teorema è c'è anche il calcolo della derivata seconda e c'è scritto proprio che:
$f''(x_0)=-(del^2xF)/(delyF)$ ora suppongo che iterando il passaggio sia così! Aggiungo che però sul libro fa la supposizione che $delxF(x_0,y_0)=0$! Dove sbaglio?
$f''(x_0)=-(del^2xF)/(delyF)$ ora suppongo che iterando il passaggio sia così! Aggiungo che però sul libro fa la supposizione che $delxF(x_0,y_0)=0$! Dove sbaglio?
Ah ecco.... se non usi quella condizione mica è vero. Infatti, parti dal seguente fatto $F(x,f(x))=0$: allora derivando rispetto ad $x$ si ha
$F_x+f'\cdot F_y=0$
da cui derivando di nuovo
$F_{x x}+f'\cdot F_{xy}+f''\cdot F_y+f'\cdot F_{xy}+(f')^2\cdot F_{yy}=0$
e quindi, visto che $f'=-{F_x}/{F_y}$
$F_{x x}-2{F_x\cdot F_{xy}}/{F_y}+f''\cdot F_y+{F_x^2\cdot F_{yy}}/{F^2_y}=0$
da cui
$f''=1/{F_y}\cdot(2{F_x\cdot F_{xy}}/{F_y}-{F_x^2\cdot F_{yy}}/{F^2_y}-F_{x x})$
Pertanto se $F_x=0$ hai la relazione cercata... ma in generale quello che ottieni è ciò che ti ho scritto io.
$F_x+f'\cdot F_y=0$
da cui derivando di nuovo
$F_{x x}+f'\cdot F_{xy}+f''\cdot F_y+f'\cdot F_{xy}+(f')^2\cdot F_{yy}=0$
e quindi, visto che $f'=-{F_x}/{F_y}$
$F_{x x}-2{F_x\cdot F_{xy}}/{F_y}+f''\cdot F_y+{F_x^2\cdot F_{yy}}/{F^2_y}=0$
da cui
$f''=1/{F_y}\cdot(2{F_x\cdot F_{xy}}/{F_y}-{F_x^2\cdot F_{yy}}/{F^2_y}-F_{x x})$
Pertanto se $F_x=0$ hai la relazione cercata... ma in generale quello che ottieni è ciò che ti ho scritto io.
ok ciampax grazie mille ora ho capito!
Ora ti chiedo: se $f''=-{F_{x x}}/{F_y}$ e sappiamo che $F_x=0$, è vero che $f'''=-{F_{x x x}}/{F_y}$? Prova a fare il calcolo esplicito partendo da $F_{x x}+f''\cdot F_y=0$ e derivando rispetto ad $x$.
allora verrebbe:
$del^3xF+f'''dely+f''delxyF=0$ da cui dopo aver sostituito e fatto i conti ho che:
$f'''=(del^2xFdelxyF-del^3xFdelyF)/((delyF)^2)$
$del^3xF+f'''dely+f''delxyF=0$ da cui dopo aver sostituito e fatto i conti ho che:
$f'''=(del^2xFdelxyF-del^3xFdelyF)/((delyF)^2)$
ciamapax scusami se rompo ma ho ancora un problema! Ho questo esercizio:
Verificare che la funzione: $x^2+log(1+xy)+ye^(2y)=0$ definisca imlicitamente una ed una sola funzione $y=f(x)$ e su questo non ci sono problemi. Poi mi chiede di verificare che il punto $x=0$ sia un estremante anche se è un pò ambiguo perchè non capisco se si riferisce alla funzione implicita oppure a quella di partenza, comunque io ho ragionato come se si riferisse alla funzione implicita ed ragionato in questo modo: per essere un punto estremante allora deve succedere che: $f'(0)=0$ ed ho verificato con la formula che ciò è vero. Il problema però è che mi chiede di specificarne la natura! come faccio?
P.S. in ogni caso il ragionamente che ho fatto per la verifica di punto estremante è corretto?
Verificare che la funzione: $x^2+log(1+xy)+ye^(2y)=0$ definisca imlicitamente una ed una sola funzione $y=f(x)$ e su questo non ci sono problemi. Poi mi chiede di verificare che il punto $x=0$ sia un estremante anche se è un pò ambiguo perchè non capisco se si riferisce alla funzione implicita oppure a quella di partenza, comunque io ho ragionato come se si riferisse alla funzione implicita ed ragionato in questo modo: per essere un punto estremante allora deve succedere che: $f'(0)=0$ ed ho verificato con la formula che ciò è vero. Il problema però è che mi chiede di specificarne la natura! come faccio?
P.S. in ogni caso il ragionamente che ho fatto per la verifica di punto estremante è corretto?
Per la prima: la derivata viene
$F_{x x x}+f'\cdot F_{x x y}+f'''\cdot F_y+f''\cdot(F_{xy}+f' F_{yy})=0$
e quindi, visto che $f'=0,\ f''=-{F_{x x}}/{F_y}$
$F_{x x x}+f'''\cdot F_y-{F_{x x}\cdot F_{xy}}/{F_y}=0$
pertanto, affinché sia $f'''=-{F_{x x x}}/{F_y}$ deve essere $F_{x x}=0$ (perché non è possibile che $F_{x y}=0$?).
Nel secondo, ovviamente ti chiede se è un estremante per la funzione $y=f(x)$, per cui la verifica della derivata pari a zero è corretta. Per verificare che tipo di estremo sia, basta calcolare $f''(0)$ (con la relazione precedente: se $f''(0)>0$ avrai un minimo, se $f''(0)<0$ un massimo e se $f''(0)=0$ un flesso a tangente orizzontale.
$F_{x x x}+f'\cdot F_{x x y}+f'''\cdot F_y+f''\cdot(F_{xy}+f' F_{yy})=0$
e quindi, visto che $f'=0,\ f''=-{F_{x x}}/{F_y}$
$F_{x x x}+f'''\cdot F_y-{F_{x x}\cdot F_{xy}}/{F_y}=0$
pertanto, affinché sia $f'''=-{F_{x x x}}/{F_y}$ deve essere $F_{x x}=0$ (perché non è possibile che $F_{x y}=0$?).
Nel secondo, ovviamente ti chiede se è un estremante per la funzione $y=f(x)$, per cui la verifica della derivata pari a zero è corretta. Per verificare che tipo di estremo sia, basta calcolare $f''(0)$ (con la relazione precedente: se $f''(0)>0$ avrai un minimo, se $f''(0)<0$ un massimo e se $f''(0)=0$ un flesso a tangente orizzontale.
$delxyF$ non può essere nullo perchè è la derivata mista rispetto alle due variabili x,y mentre $del^2xF$ è l aderivata seconda di F e siccome noi avevamo supposto $delxF=0$ allora la derivata seconda non può ke fare $0$! giusto?
Ah quindi devo soltanto studiare il segno della derivata seconda giusto non ci avevo pensato grazie! Speriamo bene per questo esame!
Ah quindi devo soltanto studiare il segno della derivata seconda giusto non ci avevo pensato grazie! Speriamo bene per questo esame!
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