Esercizio teorema del Dini
Salve ragazzi ho questa funzione:
$F(x,y)=x^3+2y^3+xy-4y^2+2y$.
L'esercizio mi chiede di stabilire se la funz $F(x,y)=0$ è risolubile rispetto ad una delle variabili in un intorno del punto $(0,1)$ ed ho controllato ed è risolvibile rispetto alla variabile x. Dunque per Dini ho che: $\EE!y: y=f(x)$.
Come secondo punto mi dice di chiamare la funz implicita come: $g(*)$ e di calcolare $g'(1)$ ed interpretare geometricamente il risultato. Il mio problema è qui:
Premesso che ho ricontrollato i conti e non credo di aver sbagliato qualcosa, ho questo:
$g'(x_0)=-(delyF(x_0,y_0))/(delxF(x_0,y_0))$
Dunque nel mio caso ho: $g'(1)=0$. Se tutto è corretto dovrei interpetare il risultato nel senso ke il punto $y=1$ è punto stazionario per la funzione di una variabile del tipo $x=g(y)$ e quindi la derivata in 1 è costante. Tuttavia ho la sensazione di aver sbagliato qualcosa anche perchè non so come ricaravare da quest'ultima relazione la funzione g(y).
Potreste gentilmente chiarire i miei dubbi? Grazie in anticipo
$F(x,y)=x^3+2y^3+xy-4y^2+2y$.
L'esercizio mi chiede di stabilire se la funz $F(x,y)=0$ è risolubile rispetto ad una delle variabili in un intorno del punto $(0,1)$ ed ho controllato ed è risolvibile rispetto alla variabile x. Dunque per Dini ho che: $\EE!y: y=f(x)$.
Come secondo punto mi dice di chiamare la funz implicita come: $g(*)$ e di calcolare $g'(1)$ ed interpretare geometricamente il risultato. Il mio problema è qui:
Premesso che ho ricontrollato i conti e non credo di aver sbagliato qualcosa, ho questo:
$g'(x_0)=-(delyF(x_0,y_0))/(delxF(x_0,y_0))$
Dunque nel mio caso ho: $g'(1)=0$. Se tutto è corretto dovrei interpetare il risultato nel senso ke il punto $y=1$ è punto stazionario per la funzione di una variabile del tipo $x=g(y)$ e quindi la derivata in 1 è costante. Tuttavia ho la sensazione di aver sbagliato qualcosa anche perchè non so come ricaravare da quest'ultima relazione la funzione g(y).
Potreste gentilmente chiarire i miei dubbi? Grazie in anticipo
Risposte
La prima: e che centra? 
Non è quello il motivo.
La seconda: sì.
Non è quello il motivo.La seconda: sì.
Scusa ciampax ma la derivata di $0$ non può che essere $0$ 
La derivata di una funzione "costante" è zero. Tu sai che $F_x(0,1)=0$, chi ti assicura che è sempre $F_x(x,y)=0$? le formule che abbiamo scritto fino ad ora, vanno sempre e solo usate per il punto attorno al quale lavori, non per tutti i punti.
In sostanza io ho che il punto $(0,1)$ è punto singolare per F ma in generale questo non è vero!
Non ho capito...
In sostanza quando succede che (come nel mio caso) ho che $F_x(0,1)=0$, il mio punto $(0,1)$ è (secondo il mio libro) punto singolare per F. Questo ragionamento in generale però non è vero! Cioè in pratica vale quello che tu hai scritto prima e $del^2xF=0, AAx$ in virtù del fatto che $F_x(0,1)=0$ ma questo solo perchè il punto è singolare, se cioò non fosse allora non varrebbe più $del^2xF=0$ perchè $F_x!=0$
Mmmmm... c'è qualcosa che non mi torna, ma al momento non so neanche io cosa.
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