Esercizio sviluppo secondo ordine di taylor

[bellrodo]

Ciao a tutti e grazie a chi mi darà una mano a capire questo esercizio:

Sia data l'equazione: $z + ( 2y^2 + sin x ) e^z = 0$

$(a)$ Verificare che essa definisce in forma implicita una ed una sola funzione $z = f (x,y)$ in un intorno di $P = (0,0,0)$.

$(b)$ Calcolare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine per $f$ centrato in $( 0,0 )$

Risoluzione:

Posto
$F (x,y,z) = z + (2y^2 + sin x) e^z$ ; si ha: $F (0,0,0) = 0$ OK!
$F_z (0,0,0) = [1 + (2y^2 + sin x) e^z]|_(0,0,0) = 1 != 0$ OK!

Per cui valgono le ipotesi del teorema del Dini.

Ora calcolo le derivate parziali:

$F_y (0,0,0) = 4y e^z|_(0,0,0) = 0$ , $F_x (0,0,0) = cos x e^z|_(0,0,0) = 1$

si ha:

$f_x = (-F_x)/(F_z) = -1$ , $f_y = (-F_y)/(F_z) = 0$

e lo sviluppo al primo ordine intorno a $(0,0)$ è dato da:

$f(x,y) = -x + o(sqrt(x^2+y^2))$

Arrivato a questo punto mi blocco, potete aiutarmi a capire come fare ad ottenere il polinomio di Taylor al secondo ordine?
La prof. ha continuato l'esercizio utilizzando gli sviluppi elementari e poi ha ricavato il polinomio al secondo ordine, ma non ho capito come ha fatto. Grazie mille a chi mi darà una mano

[bellrodo]

non c'è nessuno che sappia risolverlo o e che abbia voglia di aiutarmi?