Esercizio sulle successioni

[HowardRoark]

Se volessi dimostrare che l'estremo superiore di ${a_n}$ è $1/9$, dove ${a_n} = (n+1)/(n^2+n+25)$, dovrei necessariamente usare la caratterizzazione del sup, cioè facendo vedere che $(n+1)/(n^2+n+25) >= 1/9$ e, preso $epsilon > 0$, $(n+1)/(n^2+n+25) >= 1/9 - epsilon/9$ per $n$ abbastanza grandi (prendo $epsilon/9$ solo per semplificarmi i calcoli)?
Mi sembra un modo un po' lungo di procedere, e mi chiedo se per fare questi esercizi ci siano strade più brevi.

[HowardRoark]

"gabriella127":

Eventualmente, posta qui la definizione che ti hanno dato di \(\sup\), ci sono illustri matematici qui che meglio di me ti possono dare consigli.

Abbiamo definito il sup così: dato $A sube RR$ superiormente limitato, l'estremo superiore di $A$ è il minimo dei maggioranti di $A$. Poi abbiamo dimostrato la caratterizzazione del sup. A livello di teoria in fondo c'è abbastanza poco da sapere, ecco perché credo sia più utile fare esercizi, possibilmente non banali.

[gabriella127]

E allora poi dopo questa definizione ti i avranno dato la caratterizzazione con la disuguaglianza, dove non c'entrano nulla i limiti e 'per $n$ abbastanza grande'. Quindi non c'è motivo di metterli in mezzo quando si parla di di \(\sup\) di successioni e funzioni.

[HowardRoark]

Sono d'accordo.

[gugo82]

"HowardRoark":Ora sono fuori casa, perdonami se non scrivo in termini formali, ma sono certo che il concetto di sup possa essere definito così: y è il sup di una funzione $ f: X sube RR -> RR$ se e solo se
1) y è un maggiorante dell' insieme immagine
2) per ogni $epsilon>0$ esiste un $x in X$ tale per cui $y
Sei certo di una cosa sbagliata.
Chi dice che l'estremo superiore sia necessariamente finito?

Ma, soprattutto, perché limitarsi al caso particolare delle funzioni?

"HowardRoark":Il mio errore era pensare che questo fosse vero da un certo $x$ in poi, mentre nella definizione si parla soltanto dell' esistenza di questo $x$, e quindi in effetti quella disuguaglianza non è vera "da un certo x in poi", è sufficiente che sia vera per almeno un x. Ovviamente $epsilon$ lo posso prendere piccolo a piacere

Ma anche grande a piacere... Dopotutto, questo è il senso di $AA epsilon > 0$, no?

Il punto è a cosa corrispondano, nello svolgere esercizi, le due proprietà: cosa significano "operativamente"?


P.S.: Per ulteriori considerazioni, ti rimando a questi fogli.

[HowardRoark]

"gugo82":
Chi dice che l'estremo superiore sia necessariamente finito?

Se l'insieme ha un maggiorante, la definizione di sup è quella che ho dato; se l'insieme non ha maggiorante, si pone sup$f = +oo$. Idem con l'inf, nel caso l'insieme non avesse minoranti.

"gugo82":
Ma, soprattutto, perché limitarsi al caso particolare delle funzioni?

Perché a lezione lo abbiamo definito solo per le funzioni, e anche sul libro ho trovato solo la definizione per le funzioni.

"gugo82":
Ma anche grande a piacere... Dopotutto, questo è il senso di $AA epsilon > 0$, no?

Sì ma se prendo $epsilon$ grande a piacere è banale che $y < f(x) + epsilon$, dove $y$ è il sup. La cosa interessante è prendere $epsilon$ "piccolo quanto voglio"

"gugo82":
Il punto è a cosa corrispondano, nello svolgere esercizi, le due proprietà: cosa significano "operativamente"?

Non mi sono ancora fatto un'idea chiara su come svolgere questi esercizi, però se devo determinare il sup di una funzione, ad esempio $(3x-1)/(x-2)$, la prima cosa che faccio è capire chi è l'immagine della funzione, $x=(2y-1)/(y-3)$ definita per $y != 3$, quindi già capisco che sup $f = +oo$ e inf $f = -oo$.
Se invece ho una successione, ad esempio $A = {(n+2)/(n+1)}$ cerco di capire "ad occhio chi siano sup e inf, e poi risolvo $(n+2)/(n+1) >=$ sup $A= 3/2 => n>=1$ (questa mi dice che $3/2$ è un maggiorante, perché la disequazione è soddisfatta $AA n in NN$ [nota]i naturali ad analisi partono da 1[/nota]. Inoltre, per $n=1$ il membro di destra è uguale a $3/2$, quindi $3/2$ è anche un massimo.
$1$ è un minorante ("ad occhio" vedo che è anche l'inf, l'esercizio è solo formalizzare questa cosa):

$(n+2)/(n+1) > 1 AA n in NN$ (questo mi dice che $1$ è un minorante).
$(n+2)/(n+1) < 1 + epsilon => n> 1/epsilon -1$. Siccome questo $n$ esiste, ho dimostrato che $1$ è anche il più piccolo dei minoranti, cioè è l'inf.
Per capire come trattare ogni possibile caso devo fare più esercizi comunque.

[gugo82]

"HowardRoark":[quote="gugo82"]
Chi dice che l'estremo superiore sia necessariamente finito?

Se l'insieme ha un maggiorante, la definizione di sup è quella che ho dato [...][/quote]
Questione di gusti, ma quella che hai dato non è quella che io chiamo definizione di estremo superiore.

"HowardRoark":[...] se l'insieme non ha maggiorante, si pone sup$f = +oo$. Idem con l'inf, nel caso l'insieme non avesse minoranti.

Quale insieme?
Stai parlando di funzioni e di insiemi correlati ad una funzione ce ne sono almeno tre (quali?).

"HowardRoark":[quote="gugo82"]
Ma, soprattutto, perché limitarsi al caso particolare delle funzioni?

Perché a lezione lo abbiamo definito solo per le funzioni, e anche sul libro ho trovato solo la definizione per le funzioni.[/quote]
Vale ciò che ho consigliato già altrove: cambia testo.
La nozione (e l'esistenza) dell'estremo inferiore (o superiore) di sottoinsiemi è la proprietà fondamentale del campo reale e, perciò, è a fondamento dell'Analisi.
Se questi argomenti non sono trattati sul testo, è meglio prenderne un altro.

"HowardRoark":[quote="gugo82"]
Ma anche grande a piacere... Dopotutto, questo è il senso di $AA epsilon > 0$, no?

Sì ma se prendo $epsilon$ grande a piacere è banale che $y < f(x) + epsilon$, dove $y$ è il sup. La cosa interessante è prendere $epsilon$ "piccolo quanto voglio".[/quote]
Certo.
Ma quello che volevo sottolineare è che il quantificatore universale $AA$ non fa alcuna differenza tra "piccolo" (rispetto a cosa?) e "grande" (rispetto a cosa?).

"HowardRoark":[quote="gugo82"]
Il punto è a cosa corrispondano, nello svolgere esercizi, le due proprietà: cosa significano "operativamente"?

Non mi sono ancora fatto un'idea chiara su come svolgere questi esercizi, però se devo determinare il sup di una funzione, ad esempio $(3x-1)/(x-2)$, la prima cosa che faccio è capire chi è l'immagine della funzione, $x=(2y-1)/(y-3)$ definita per $y != 3$, quindi già capisco che sup $f = +oo$ e inf $f = -oo$.
Se invece ho una successione, ad esempio $A = {(n+2)/(n+1)}$ cerco di capire "ad occhio chi siano sup e inf, e poi risolvo $(n+2)/(n+1) >=$ sup $A= 3/2 => n>=1$ (questa mi dice che $3/2$ è un maggiorante, perché la disequazione è soddisfatta $AA n in NN$ [nota]i naturali ad analisi partono da 1[/nota]. Inoltre, per $n=1$ il membro di destra è uguale a $3/2$, quindi $3/2$ è anche un massimo.
$1$ è un minorante ("ad occhio" vedo che è anche l'inf, l'esercizio è solo formalizzare questa cosa):

$(n+2)/(n+1) > 1 AA n in NN$ (questo mi dice che $1$ è un minorante).
$(n+2)/(n+1) < 1 + epsilon => n> 1/epsilon -1$. Siccome questo $n$ esiste, ho dimostrato che $1$ è anche il più piccolo dei minoranti, cioè è l'inf.
Per capire come trattare ogni possibile caso devo fare più esercizi comunque.[/quote]
Non necessariamente più esercizi... Per capire come trattare ogni caso devi riflettere su ciò che sai.

Congetturiamo che una tua funzione $f:X -> RR$ estremo superiore finito $Lambda$.
Ciò accade solo se:
\begin{align}
\tag{sup.1} \forall x \in X,\ f(x)&\leq \Lambda \; ,\\
\tag{sup.2} \forall \varepsilon > 0,\ \exists \bar{x} \in X:\quad \Lambda - \varepsilon &< f(x)\; .
\end{align}
La (sup.1) vuol dire essenzialmente che:

ogni $x \in X$ è soluzione della disequazione $f(x) <= Lambda$, ossia che $X$ è incluso nell'insieme $S$ delle possibili soluzioni di $f(x) <= Lambda$ (se è possibile calcolarle con tecniche elementari);

invece la (sup.2) significa che:

per ogni valore del parametro positivo \(\varepsilon\), almeno una soluzione della disequazione $Lambda - varepsilon < f(x)$ sta nell'insieme $X$, ossia che l'intersezione di $X$ con l'insieme $S_varepsilon$ delle soluzioni di $Lambda - varepsilon < f(x)$ (se è possibile calcolarle con tecniche elementari) non è vuota.

[HowardRoark]

"gugo82":
Questione di gusti, ma quella che hai dato non è quella che io chiamo definizione di estremo superiore.

Nel senso che è sbagliata?

"gugo82":
Quale insieme?
Stai parlando di funzioni e di insiemi correlati ad una funzione ce ne sono almeno tre (quali?).

Se scrivo sup$f$ intendo l'insieme immagine della funzione, cioè il grafico della funzione proiettato sull'asse $y$. Considerare il sup del dominio non mi sembra interessante e anche quello del codominio della funzione. Comunque sup $f$ dovrebbe essere una notazione abbastanza usuale, di solito si mette sotto "sup" l'insieme da dove prendo le $x$, però se tale insieme è il dominio di solito non si indica.

"gugo82":
Vale ciò che ho consigliato già altrove: cambia testo.
La nozione (e l'esistenza) dell'estremo inferiore (o superiore) di sottoinsiemi è la proprietà fondamentale del campo reale e, perciò, è a fondamento dell'Analisi.
Se questi argomenti non sono trattati sul testo, è meglio prenderne un altro.

Per parlare di sup e inf al di fuori delle funzioni mi devo ripassare gli appunti di algebra, intanto comunque comincerei a capire per bene il concetto nell'ambito delle funzioni. Il poco tempo a disposizione non mi permette di approfondire troppo i concetti, purtroppo. Già i miei compagni di corso si stanno esercitando sui limiti, non posso rimanere così tanti giorni su un singolo argomento.

"gugo82":

Non necessariamente più esercizi... Per capire come trattare ogni caso devi riflettere su ciò che sai.

Congetturiamo che una tua funzione $f:X -> RR$ estremo superiore finito $Lambda$.
Ciò accade solo se:
\begin{align}
\tag{sup.1} \forall x \in X,\ f(x)&\leq \Lambda \; ,\\
\tag{sup.2} \forall \varepsilon > 0,\ \exists \bar{x} \in X:\quad \Lambda - \varepsilon &< f(x)\; .
\end{align}
La (sup.1) vuol dire essenzialmente che:

ogni $x \in X$ è soluzione della disequazione $f(x) <= Lambda$, ossia che $X$ è incluso nell'insieme $S$ delle possibili soluzioni di $f(x) <= Lambda$ (se è possibile calcolarle con tecniche elementari);

invece la (sup.2) significa che:

per ogni valore del parametro positivo \(\varepsilon\), almeno una soluzione della disequazione $Lambda - varepsilon < f(x)$ sta nell'insieme $X$, ossia che l'intersezione di $X$ con l'insieme $S_varepsilon$ delle soluzioni di $Lambda - varepsilon < f(x)$ (se è possibile calcolarle con tecniche elementari) non è vuota.

Ti ringrazio per aver formulato il concetto in modo così rigoroso, ormai credo di averlo capito.

[gugo82]

"HowardRoark":[quote="gugo82"]
Questione di gusti, ma quella che hai dato non è quella che io chiamo definizione di estremo superiore.

Nel senso che è sbagliata?[/quote]
Nel senso che non è ciò che io chiamo definizione.

"HowardRoark":[quote="gugo82"]
Quale insieme?
Stai parlando di funzioni e di insiemi correlati ad una funzione ce ne sono almeno tre (quali?).

Se scrivo sup$f$ intendo l'insieme immagine della funzione, cioè il grafico della funzione proiettato sull'asse $y$. Considerare il sup del dominio non mi sembra interessante e anche quello del codominio della funzione. Comunque sup $f$ dovrebbe essere una notazione abbastanza usuale, di solito si mette sotto "sup" l'insieme da dove prendo le $x$, però se tale insieme è il dominio di solito non si indica.[/quote]
Sì, la notazione è comunemente valida... Quello che non si capiva (e su cui i matematici sono abituati a farti il pelo) è a cosa ti stessi riferendo.
Il linguaggio che usi deve essere il più pulito e preciso possibile.

"HowardRoark":[quote="gugo82"]
Vale ciò che ho consigliato già altrove: cambia testo.
La nozione (e l'esistenza) dell'estremo inferiore (o superiore) di sottoinsiemi è la proprietà fondamentale del campo reale e, perciò, è a fondamento dell'Analisi.
Se questi argomenti non sono trattati sul testo, è meglio prenderne un altro.

Per parlare di sup e inf al di fuori delle funzioni mi devo ripassare gli appunti di algebra [...][/quote]
Non vedo cosa c'entri... L'Analisi è fondata sulle proprietà del campo reale.
Come disse il mio docente di Analisi I, sono cose che si devono sapere anche in punto di morte.

"HowardRoark":[...] intanto comunque comincerei a capire per bene il concetto nell'ambito delle funzioni. Il poco tempo a disposizione non mi permette di approfondire troppo i concetti, purtroppo. Già i miei compagni di corso si stanno esercitando sui limiti, non posso rimanere così tanti giorni su un singolo argomento.

E cosa ti importa dei tuoi colleghi di corso?
Se ti serve tempo per capire, prenditelo. Lo studio non è una gara a chi finisce prima, e di studenti laureati in tempo ma che ignorano la materia ne abbiamo pure troppi.

"HowardRoark":[quote="gugo82"]Non necessariamente più esercizi... Per capire come trattare ogni caso devi riflettere su ciò che sai.

Congetturiamo che una tua funzione $f:X -> RR$ estremo superiore finito $Lambda$.
Ciò accade solo se:
\begin{align}
\tag{sup.1} \forall x \in X,\ f(x)&\leq \Lambda \; ,\\
\tag{sup.2} \forall \varepsilon > 0,\ \exists \bar{x} \in X:\quad \Lambda - \varepsilon &< f(x)\; .
\end{align}
La (sup.1) vuol dire essenzialmente che:

ogni $x \in X$ è soluzione della disequazione $f(x) <= Lambda$, ossia che $X$ è incluso nell'insieme $S$ delle possibili soluzioni di $f(x) <= Lambda$ (se è possibile calcolarle con tecniche elementari);

invece la (sup.2) significa che:

per ogni valore del parametro positivo \(\varepsilon\), almeno una soluzione della disequazione $Lambda - varepsilon < f(x)$ sta nell'insieme $X$, ossia che l'intersezione di $X$ con l'insieme $S_varepsilon$ delle soluzioni di $Lambda - varepsilon < f(x)$ (se è possibile calcolarle con tecniche elementari) non è vuota.

Ti ringrazio per aver formulato il concetto in modo così rigoroso, ormai credo di averlo capito.[/quote]
Prego.

[gabriella127]

"gugo82":
[quote="HowardRoark"][quote="gugo82"]
Ma, soprattutto, perché limitarsi al caso particolare delle funzioni?

Perché a lezione lo abbiamo definito solo per le funzioni, e anche sul libro ho trovato solo la definizione per le funzioni.[/quote]
Vale ciò che ho consigliato già altrove: cambia testo.
La nozione (e l'esistenza) dell'estremo inferiore (o superiore) di sottoinsiemi è la proprietà fondamentale del campo reale e, perciò, è a fondamento dell'Analisi.
Se questi argomenti non sono trattati sul testo, è meglio prenderne un altro.
[/quote]
@HowardRoark scusa, ma a me 'sta cosa mi lascia perplessa: sei sicuro che l'estremo superiore (tranne che per le funzioni) non è trattato sul tuo libro di testo Chierchia, Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su $\mathbb{R}$?
È questo?
https://www.amazon.it/gp/product/883869 ... JU7H&psc=1

Cioè, ha come sottotitolo Una introduzione rigorosa all'analisi su $\mathbb{R}$, e poi la trattazione rigorosa di $\mathbb{R}$ non c'è, non parla di estremo superiore?

[HowardRoark]

La nozione di estremo superiore c'è ovunque. Magari all' inizio, siccome ho fatto un po' di confusione, pensavate che non mi fosse proprio nota, però ovviamente è stata trattata a lezione e viene ripresa nel testo. Nel libro su cui stavo studiando (il Bertsch) ci si limita a definire il concetto nell' ambito delle funzioni, non so se sia questa la cosa che vi lascia perplessi. Sul libro di Chierchia ho iniziato a studiarci solo oggi ma ci sono anche qui i concetti di sup e inf. Sul libro di Chierchia il sup e l' inf vengono definiti a partire da sottoinsiemi non vuoti di $RR$, però penso siano questioni di poco conto, cioè, una volta definiti questi concetti sull'insieme immagine di una funzione è chiaro che si possano estendere ad ogni insieme.

[gabriella127]

"HowardRoark":La nozione di estremo superiore c'è ovunque. Magari all' inizio, siccome ho fatto un po' di confusione, pensavate che non mi fosse proprio nota, però ovviamente è stata trattata a lezione e viene ripresa nel testo. Nel libro su cui stavo studiando (il Bertsch) ci si limita a definire il concetto nell' ambito delle funzioni, non so se sia questa la cosa che vi lascia perplessi. Sul libro di Chierchia ho iniziato a studiarci solo oggi ma ci sono anche qui i concetti di sup e inf.

Ok, aaah, ecco, allora è come pensavo.
Certo che lascia perplessi che l'estremo superiore viene trattato solo per funzioni, e che, siamo matematici o caporali!
Non l'avrai ancora fatto, ma l'Assioma dell'estremo superiore, è la base fondante dell'analisi su $\mathbb{R}$, senza il quale nemmeno si può parlare di $\mathbb{R}$, ora ti sembrerà cripitico ma poi ci arriverai.

Quindi non c'è su Bertsch, su Chierchia sì, allora credo che è come pensavo, che Bertsch è un libro genericamente indirizzato a corsi di laurea scientifici, tipo ingegneria, non per matematica.

"HowardRoark": Sul libro di Chierchia il sup e l' inf vengono definiti a partire da sottoinsiemi non vuoti di $ RR $, però penso siano questioni di poco conto, cioè, una volta definiti questi concetti sull'insieme immagine di una funzione è chiaro che si possano estendere ad ogni insieme.

Cancella dalla mente questa nefandezza! (Scherzo, eh? però, insomma, è abbastanza una nefandezza...).
Ora sospendi il giudizio e vedrai che poi quando avrai studiato queste cose sarà tutto più chiaro.

Quanto al Bertsch, non so se altri qui saranno d'accordo, fanne al momento un uso migliore, tipo asciugatore per frittura .