Esercizio sulle serie
Salve, ho difficoltà con questo esercizio.
Sia $ a_n > 0 $
a) Provare che se $ a_n $ è asintotico a $ n $, allora $ sum e^(-a_n) $ converge.
b) Che cosa si può affermare della medesima serie se $ lim_(n->+infty) a_n / n = 0 $ ?
Il primo punto credo basti usare il confronto asintotico, la serie è asintotica a $ e^(-n) $, serie geometrica di ragione minore di 1 e quindi convergente.
Ma per il secondo punto? Non capisco come impostare la dimostrazione.
Sia $ a_n > 0 $
a) Provare che se $ a_n $ è asintotico a $ n $, allora $ sum e^(-a_n) $ converge.
b) Che cosa si può affermare della medesima serie se $ lim_(n->+infty) a_n / n = 0 $ ?
Il primo punto credo basti usare il confronto asintotico, la serie è asintotica a $ e^(-n) $, serie geometrica di ragione minore di 1 e quindi convergente.
Ma per il secondo punto? Non capisco come impostare la dimostrazione.
Risposte
Il secondo punto è molto semplice.
Pensaci.
Pensaci.
Il criterio della radice credo sia inconcludente, il limite mi viene 1. Quello del rapporto invece non capisco come sbloccare il limite..
Nulla, non capisco..
Nulla, non capisco..
Ho provato a buttarci dentro qualche successione e ciò mi ha ancora di più confuso le idee... ho provato con $ sqrt(n) $ e $ ln(n) $ .. ma nel primo caso la serie ottenuta converge e nel secondo diverge..
"marcobj99":
Ho provato a buttarci dentro qualche successione e ciò mi ha ancora di più confuso le idee... ho provato con $ sqrt(n) $ e $ ln(n) $ .. ma nel primo caso la serie ottenuta converge e nel secondo diverge..
Appunto.
Quindi puoi affermare qualcosa di certo sulla tua serie?
"arnett":
1. un teorema che dovrebbe esserti noto afferma che se il criterio della radice non permette di concludere nulla (cioè se il limite fa 1) allora nemmeno il criterio del rapporto permette di concludere nulla.
Quale? Non mi sembra di averlo fatto a lezione
"arnett":
bonus question che ti faccio: è possibile trovare una successione $ a_n $ tale da rendere indeterminata la serie?
$ (-1)^n $ dovrebbe renderla indeterminata giusto?
Quindi non possiamo affermare nulla sulla serie... ma lo potevamo dire senza provare le 3 successioni? O si può fare una dimostrazione dietro?
Volevo dire se ha un nome, comunque grazie dell'aiuto ahahah
Hai ragione, essendo un esponenziale qualunque successione a_n sarà sempre a termini positivi e quindi regolare (credo).
Per quanto riguarda l'altra domanda? Potevo provare ciò senza "tentare" con le varie successioni?
Hai ragione, essendo un esponenziale qualunque successione a_n sarà sempre a termini positivi e quindi regolare (credo).
Per quanto riguarda l'altra domanda? Potevo provare ciò senza "tentare" con le varie successioni?
Perfetto, grazie mille anche per il teorema che non conoscevo 
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