Esercizio sulle orbite di un sistema dinamico

[Corberon]

Buongiorno a tutti.
Sono uno studente di ingegneria matematica e sono nuovo qui, per cui spero di non aver sbagliato a creare un topic nuovo per la mia domanda.
Sto preparando l'orale dell'esame di Analisi II e ho un dubbio su un esercizio da tema d'esame.
Mi si dà il seguente sistema dinamico:
\[
\begin{cases}
\dot{x}=y^3-y\\
\dot{y}=x-x^3
\end{cases}
\]
L'esercizio chiede di individuare i punti di equilibrio, studiarne la stabilità e tracciare qualche orbita.
Una volta trovati i punti di equilibrio e calcolato lo jacobiano per valutare il sistema linearizzato, ottengo che i punti $(0,0)$, $(\pm1,\pm1)$, $(\mp1,\pm1)$ sono centri per il sistema linearizzato e quindi centri o fuochi per il sistema non lineare e che i punti $(0,\pm1)$ e $(\pm1,0)$ sono punti di colle.
A questo punto come faccio a verificare che i centri che ho trovato siano effettivamente tali anche per il sistema non lineare? Il Salsa-Squellati di solito consiglia di passare alle coordinate polari, ma facendo i calcoli a me viene un sistema implausibilmente complicato.
Ho trovato anche che il sistema è hamiltoniano e quindi ammette una costante del moto \[H(x,y,)=x^4/4+y^4/4-x^2/2-y^2/2\]
Solo che a questo punto non so disegnare le curve di livello di questa funzione perché non riesco a trovare le opportune funzioni implicite.
Cosa mi sfugge?
Grazie in anticipo a chiunque voglia darmi una mano!

[Corberon]

PS: con Matlab ho ottenuto un ritratto di fase che mostra che tutti i centri del sistema linearizzato corrispondono a fuochi instabili, il che impedisce di ricavare qualche informazione in più con delle funzioni di Lyapunov.