Esercizio sulla differenziabilità...
Data la funzione:
[tex]$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x(1-\cos y)}{\sqrt{x^2+ y^2}} &\text{, se $(x,y) \neq (0,0)$} \\ 0 &\text{, se $(x,y) = (0,0)$} \end{cases}$[/tex],
verificare la differenziabilità nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]
La funzione è continua, per verificare la differenziabilità in questa tipologia di esercizi nel punto mi conviene utilizzare da subito la definizione? oppure verificare l'esistenza delle derivate e vedere se sono funzioni continue?
[tex]$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x(1-\cos y)}{\sqrt{x^2+ y^2}} &\text{, se $(x,y) \neq (0,0)$} \\ 0 &\text{, se $(x,y) = (0,0)$} \end{cases}$[/tex],
verificare la differenziabilità nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]
La funzione è continua, per verificare la differenziabilità in questa tipologia di esercizi nel punto mi conviene utilizzare da subito la definizione? oppure verificare l'esistenza delle derivate e vedere se sono funzioni continue?
Risposte
Innanzitutto, calcola le derivate (im)parziali nel punto [tex]$(0,0)$[/tex], ché la loro esistenza è condizione necessaria alla differenziabilità; poi applica la definizione, ossia prova che:
[tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(x,y)\ x- f_y(x,y)\ y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$[/tex].
[tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(x,y)\ x- f_y(x,y)\ y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$[/tex].
"gugo82":
(im)parziali
?
"fireball":
[quote="gugo82"](im)parziali
?
[/quote]Un piccolo divertissement che ho preso dal mio prof. di Analisi.
Grazie mille, 
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