Esercizio sugli integrali generalizzati con parametro

[pipredo]

Buonasera,
sono uno studente di ingegneria civile e mi sto preparando per l'esame di Analisi 1, mi sono bloccato nel risolvere gli integrali generalizzati come questo qui sotto, se qualcuno mi potesse illustrare il procedimento gli sarei molto grato.

$ int_(1)^(+oo ) (sin (x-1))/ (x^2*(x-1)^alpha*ln(x) )\ text(d) x $

[gugo82]

Tentativi tuoi?
Il libro di teoria che dice?

[pipredo]

Ho provato prima a spezzare l'integrale in due parti, una da 1 a 2, e l'altra da 2 a +infinito, poi ho trasformato $sin(x-1)$ in $x-1$, che poi ho unito al termine al denominatore ottenendo $1/(x^2*(x-1)^(alpha-1)*ln(x))$. A questo punto non so' come studiare $alpha$, e non riesco nemmeno a ricondurlo a una delle forme note, come $1/x^alpha$ oppure ad $1/(x^alpha*(ln(x))^beta)$.
Sul libro di teoria non ho trovato nessun esercizio simile a questo.

[gugo82]

Per valutare la convergenza dell’integrale basta studiare l’ordine di infinito/infinitesimo in $1$ ed in $+oo$.

In $1$ l’integrando è equivalente a $1/((x-1)^(alpha)$, che è un infinito in $1$ d’ordine $alpha$ per $alpha >0$ ed è continuo per $alpha <=0$; dunque, l’integrale è convergente in $1$ non appena $alpha <1$.
In $+oo$ l’integrando è maggiorato in valore assoluto da $1/(x^2 (x-1)^alpha log x)$ che è un infinitesimo equivalente a $1/(x^(alpha + 2) log x)$; dunque l’integrale è convergente in $+oo$ solo se $alpha > -1$.
Quindi l’integrale è convergente per $-1 < alpha <1$.

[Bokonon]

@gugo82
Perchè non per $-2

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[gugo82]

Posta i tuoi conti.
Può darsi che abbia sbagliato qualcosa...

[Bokonon]

O più probabilmente non ho capito io.

Hai scritto:

"gugo82":
In $1$ l’integrando è equivalente a $1/((x-1)^(alpha)$, che è un infinito in $1$ d’ordine $alpha$ per $alpha >0$ ed è continuo per $alpha <=0$

E infatti per $alpha>0$ $x=1$ è un asintoto della funzione integranda.

Poi hai scritto:

"gugo82":
In $+oo$ l’integrando è maggiorato in valore assoluto da $1/(x^(alpha + 2) log x)$

E converge a zero se $alpha+2>0$

Quindi io avrei concluso che l'integrale improprio converge se $-2

Cita

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[gugo82]

@Bokonon: Ma sai di cosa stai parlando?
Conosci i criteri di convergenza per gli integrali impropri?

[pipredo]

Grazie mille gugo82,
il tuo risultato è corretto, solo che alcune cose non mi sono chiare, non capisco come in $1$ l'integrando sia equivalente a $1/(x-1)^alpha$, e perché in $+oo$ l'integrale viene considerato in valore assoluto.

[gugo82]

In $1$ il $log x$ ha uno zero del primo ordine, così come il $sin (x-1)$; dunque $log x, sin (x-1) approx x - 1$ per $x->1$ (se non lo vedi, fai la sostituzione $y=x-1$ ed usa i limiti notevoli).
D'altra parte, $x^2approx 1$ per $x->1$.
Questo spiega l'approssimazione che ho usato in $1$.

Per quanto riguarda il comportamento intorno a $+oo$, osserva che hai un seno che oscilla al numeratore, dunque l'integrando non è né sempre positivo né sempre negativo intorno a $+oo$; per questo motivo ho studiato la convergenza assoluta dell'integrale.

[Bokonon]

"gugo82":@Bokonon: Ma sai di cosa stai parlando?
Conosci i criteri di convergenza per gli integrali impropri?

Assolutamente no e sto improvvisando, per questo chiedevo
La mia prima "ipotesi" era "restringere la classe di funzioni a quelle senza asintoti verticali e che convergano a zero ad infinito" ma il tuo post la confutava.
Se non fosse chiaro, sto proprio chiedendoti che ragionamento hai fatto esattamente per decidere quell'intervallo!

[gugo82]

@Bokonon:

"gugo82":@Bokonon: Ma sai di cosa stai parlando?
Conosci i criteri di convergenza per gli integrali impropri?

Se non fosse chiaro, sto chiedendoti di aprire un libro e studiare le basi.

[pilloeffe]

Ciao pipredo,

Ferma restando la correttezza della soluzione che ti ha proposto gugo82, io per risolvere l'integrale improprio parametrico proposto avrei applicato il criterio del massimo fastidio che ho pensato giusto qualche giorno fa, per cui avrei posto subito $t := x - 1 \implies dt = dx $ sicché si ha:

$\int_1^{+\infty} (sin(x - 1))/(x^2 (x-1)^{\alpha}\ln(x)) \text{d}x = \int_0^{+\infty} (sin(t))/((1 + t)^2 t^{\alpha}\ln(1 + t)) \text{d}t $

[pipredo]

L'unica cosa che purtroppo non riesco ancora a capire, nonostante abbia provato anche a fare la sostituzione, è come mai $log(x)≈x-1$.
Grazie

[gugo82]

Qual è il polinomio di Taylor al primo ordine di $log x$ centrato in $1$?

[pilloeffe]

Per $t \to 0^+ $ si ha che $ln(1 + t) $ si comporta come $t $ (limite notevole) per cui rimane $ 1/t^{\alpha} $;
per $t \to +\infty $ si ha che $(1 + t)^2 $ si comporta come $t^2 $, $sin(t) $ è una funzione limitata e $ln(1 + t) $ si comporta come $ln(t) $, per cui...

[Bokonon]

"gugo82":
Se non fosse chiaro, sto chiedendoti di aprire un libro e studiare le basi.

Ok capito, faccio da me come al solito
Le "ipotesi di lavoro" che mi ero fatto sono necessarie ma non sufficienti.
Per esempio, nel primo caso avrei dovuto fare anche il passo successivo, integrare e fare il limite e ottenere appunto $alpha<1$.

[gugo82]

Non serve integrare.
Basta applicare il Criterio dell'Ordine di Infinito/Infinitesimo.

[pipredo]

"gugo82":Qual è il polinomio di Taylor al primo ordine di $log x$ centrato in $1$?

Cosa significa centrato in $1$?
Polinomio di Taylor conosco solo quello di $log(1+x)$, ma non di $logx$.

"pilloeffe":Ciao pipredo,

Ferma restando la correttezza della soluzione che ti ha proposto gugo82, io per risolvere l'integrale improprio parametrico proposto avrei applicato il criterio del massimo fastidio che ho pensato giusto qualche giorno fa, per cui avrei posto subito $ t := x - 1 \implies dt = dx $ sicché si ha:

$ \int_1^{+\infty} (sin(x - 1))/(x^2 (x-1)^{\alpha}\ln(x)) \text{d}x = \int_0^{+\infty} (sin(t))/((1 + t)^2 t^{\alpha}\ln(1 + t)) \text{d}t $

Ma se pongo $t=x-1$, non dovrei avere $ \int_1^{+\infty} (sin(x - 1))/(x^2 (x-1)^{\alpha}\ln(x)) \text{d}x = \int_0^{+\infty} (sin(t))/((t-1)^2 t^{\alpha}\ln(t-1)) \text{d}t $ ?

[Bokonon]

"gugo82":Non serve integrare.
Basta applicare il Criterio dell'Ordine di Infinito/Infinitesimo.

Certo, ma era l'integrale fondamentale e io tocco sempre con "mano"...mica mi sono messo a fare il secondo integrale
$1/(x^(alpha + 2) log x)<=1/(x^(alpha + 2))$
a +infinito, l'integrale converge se $alpha+1>0$
Ora vedo tutto con chiarezza.

[Bokonon]

"pipredo":
Ma se pongo $t=x-1$

...allora $x=t+1$