Esercizio su una funzione in analisi 2
Esercizio di analisi 2
Data la funzione : $ f(x,y)=x^2(2y-1)-4y^2 $
a)Classificare gli eventuali punti critici della seguente funzione
b)scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1,0,-1)
c)scrivere l'equazione della retta tangente in (2,1) alla curva $ f(x,y)=0 $
la cosa più importante è il punto c!
grz in anticipo[/spoiler]
Data la funzione : $ f(x,y)=x^2(2y-1)-4y^2 $
a)Classificare gli eventuali punti critici della seguente funzione
b)scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1,0,-1)
c)scrivere l'equazione della retta tangente in (2,1) alla curva $ f(x,y)=0 $
la cosa più importante è il punto c!
grz in anticipo[/spoiler]
Risposte
Nessuna idea? Prova a postare un tentativo di risoluzione: vedrai che cosi arriveranno orde di matematici per aiutarti 
Ti invito a dare un'occhiata al regolamento e, ovviamente, benvenuto nel forum!
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grz mille per il benvenuto!
raga per quanto riguarda i punti a) e b) le mie idee vorrebbero solo una conferma... allora
a)vedo in che punti si annulla il gradiente poi calcolo l'hessiano e vedo se sono max min o punti di sella
b)mi ricordo che quando sono andato a studiare la differenziabilità mi trovavo la funzine del piano tangente
$ z=f(x,y)+del f / del x (x-x $ $ z=f(x,y)+(del f) / (del x)(x-x_0)+ (del f) / (del y) (y-y_0) $
vorrei avere una confermaper i punti sopra indicati
mentre per il punto c non ho proprio idee!
raga per quanto riguarda i punti a) e b) le mie idee vorrebbero solo una conferma... allora
a)vedo in che punti si annulla il gradiente poi calcolo l'hessiano e vedo se sono max min o punti di sella
b)mi ricordo che quando sono andato a studiare la differenziabilità mi trovavo la funzine del piano tangente
$ z=f(x,y)+del f / del x (x-x $ $ z=f(x,y)+(del f) / (del x)(x-x_0)+ (del f) / (del y) (y-y_0) $
vorrei avere una confermaper i punti sopra indicati
mentre per il punto c non ho proprio idee!
Ciao 
Ti chiederei gentilmente di non scrivere con abbreviazioni stile sms, per piacere. Grazie
Dunque, per quanto riguarda il punto a) direi che è corretto; sul punto b), dopo aver verificato che la funzione è differenziabile nel punto, devi applicare la formula che ti dà l'equazione del piano tangente (se non ricordo male il vettore [tex](\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0), -1)[/tex] è normale al piano: di qui puoi ritrovarti l'equazione cartesiana del piano, che dovrebbe essere proprio quella che hai scritto).
Quanto al punto c), conosci il teorema del Dini (o delle funzioni implicite)? E' un teorema bellissimo
Ti chiederei gentilmente di non scrivere con abbreviazioni stile sms, per piacere. Grazie
Dunque, per quanto riguarda il punto a) direi che è corretto; sul punto b), dopo aver verificato che la funzione è differenziabile nel punto, devi applicare la formula che ti dà l'equazione del piano tangente (se non ricordo male il vettore [tex](\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0), -1)[/tex] è normale al piano: di qui puoi ritrovarti l'equazione cartesiana del piano, che dovrebbe essere proprio quella che hai scritto).
Quanto al punto c), conosci il teorema del Dini (o delle funzioni implicite)? E' un teorema bellissimo
proprio stupendo il teorema del dini!! :D quindi dovrei usare la formula che ora ti scrivo?
$ f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)=0 $
giusto?
$ f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)=0 $
giusto?
Sì, dovrebbe essere giusta; io però diffido delle formule (difficile che me le ricordi), devo sempre ricostruirle. Sapresti dirmi come fai ad ottenere quell'equazione lì?
diciamo che del Teorema del Dini ricordo poco ma da quello che ricordo
$ (f_x(x_0,y_0)) / (f_y(x_0,y_0)) $ dovrebbe essere il coefficiente angolare della retta tangente alla curva f(x,y)=0 nel punto $ (x_0,y_0) $ poi sapendo che l'equazione di una retta passante per il punto $ (x_0,y_0) $ è $ y-y_0=m (x-x_0) $ dove m è proprio il coefficiente angolare.
dimmi se ho sbagliato
$ (f_x(x_0,y_0)) / (f_y(x_0,y_0)) $ dovrebbe essere il coefficiente angolare della retta tangente alla curva f(x,y)=0 nel punto $ (x_0,y_0) $ poi sapendo che l'equazione di una retta passante per il punto $ (x_0,y_0) $ è $ y-y_0=m (x-x_0) $ dove m è proprio il coefficiente angolare.
dimmi se ho sbagliato
Sì, l'idea è giusta, anche se non è proprio scritto benissimo.
Comunque è sbagliato il segno: la derivata vale $-f_x/f_y$. Mi raccomando: tutto funziona nell'ipotesi che la funzione abbia derivate parziali continue, che il punto $(x_0,y_0)$ appartenga alla curva $f(x,y)=0$ e che almeno una derivata parziale ($f_y(x_0,y_0)$ o $f_x(x_0,y_0)$) sia non nulla.
Comunque è sbagliato il segno: la derivata vale $-f_x/f_y$. Mi raccomando: tutto funziona nell'ipotesi che la funzione abbia derivate parziali continue, che il punto $(x_0,y_0)$ appartenga alla curva $f(x,y)=0$ e che almeno una derivata parziale ($f_y(x_0,y_0)$ o $f_x(x_0,y_0)$) sia non nulla.
nell'equazione del piano tangente che ora riscrivo
$ z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+ f_y(x_0,y_0) (y-y_0) $
al posto di $x_0$ e di $y_0$ sostituisco le coordinate (1,0) come da testo(vedi sopra), ma al posto di z devo inserire la coordinata -1 o devo lasciare z ???
$ z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+ f_y(x_0,y_0) (y-y_0) $
al posto di $x_0$ e di $y_0$ sostituisco le coordinate (1,0) come da testo(vedi sopra), ma al posto di z devo inserire la coordinata -1 o devo lasciare z ???
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