Esercizio su un integrale

[Gold D Roger]

Dopo aver dimostrato che esiste finito, mi si chiede di calcolare questo integrale, però non so da dove iniziare
\( \int_{0}^{\pi} \frac{1}{cos^2x + sen(2x) + 1}\, dx \)

[Lo_zio_Tom]

direi che è molto semplice

$int1/(cos^2x+sen(2x)+1)dx=int1/((cos(2x)+1)/2+sen(2x)+1)dx=int1/(cos(2x)+2sen(2x)+3)d(2x)=int1/(cosz+2senz+3)dz$

ora usiamo le formule parametriche ottenendo:

$int1/((1-t^2)/(1+t^2)+4t/(1+t^2))2/(1+t^2)dtint2/(1-t^2+4t)dt$

da qui riesci a proseguire?

[Gold D Roger]

Ciao, grazie per l'input, provavo a cercare di integrare per fratti semplici ($int A/(t+2+sqrt(5))dt+int B/(-t+2-sqrt(5))dt$ però poi mi è venuta un'altra idea , ma non so se esatta:


$ =2 int1/(1-t^2+4t)dt$

$t^2-4t-1=-4+(t-2)^2-1=(t-2)^2 -5=5[1-(t-2)^2/(5)]=5[1-((t-2)/(sqrt(5)))^2]$

$2/5 int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)dt$

pongo $y=(t-2)/(sqrt(5))$

$2/5 int 1/(1-y^2)dy= $2/5 setttghy +c = 2/5 setttgh$((t-2)/(sqrt(5))) +c $ giusto?

EDIT: aggiunta la radice quadrata.

[Lo_zio_Tom]

"Gold D Roger":$5[1-(t-2)^2/(5)]=5[1-((t-2)/(5))^2]$

???

ma poi scusa...senza scomodare le funzioni iperboliche inverse non lo potevi fare per fratti semplici?

[Gold D Roger]

"tommik":[quote="Gold D Roger"]$5[1-(t-2)^2/(5)]=5[1-((t-2)/(5))^2]$

???[/quote]
Sì, mi sono dimenticato la radice quadrata

[Lo_zio_Tom]

così ad occhio mi pare che ti manchi ancora un $sqrt(5)$ per accordare il differenziale alla variabile

[Gold D Roger]

"tommik":

ma poi scusa...senza scomodare le funzioni iperboliche inverse non lo potevi fare per fratti semplici?

Sì, lo avevo aggiunto nella modifica del post, però mi sembrava più veloce in questo modo.

[Lo_zio_Tom]

"Gold D Roger":[quote="tommik"]

ma poi scusa...senza scomodare le funzioni iperboliche inverse non lo potevi fare per fratti semplici?

Sì, lo avevo aggiunto nella modifica del post, però mi sembrava più veloce in questo modo.[/quote]

ok però prima sistema le costanti...sotto hai $(t-2)/sqrt(5)$ e il differenziale è $dt$. Deve diventare anche lui $d(t-2)/sqrt(5)$

[Gold D Roger]

"tommik":
ok però prima sistema le costanti...sotto hai $(t-2)/sqrt(5)$ e il differenziale è $dt$. Deve diventare anche lui $d(t-2)/sqrt(5)$

Non ho capito,

$int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)dt = int 1/(1-y^2)dy$ in quanto $ y=(t-2)/(sqrt(5)) $, no?

[Lo_zio_Tom]

"Gold D Roger":[quote="tommik"]
ok però prima sistema le costanti...sotto hai $(t-2)/sqrt(5)$ e il differenziale è $dt$. Deve diventare anche lui $d(t-2)/sqrt(5)$

Non ho capito,

$int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)dt = int 1/(1-y^2)dy$ in quanto $ y=(t-2)/(sqrt(5)) $, no?[/quote]

no, per niente! $ y=(t-2)/(sqrt(5)) $ ma $dy!=dt$

$ y=(t-2)/(sqrt(5)) $ => $dy=dt/sqrt(5)$ => $dt=sqrt(5)dy$

quindi:

$int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)dt =sqrt(5) int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)d((t-2)/sqrt(5))=sqrt(5) int 1/(1-y^2)dy$


o no?

[Gold D Roger]

Perfetto, grazie per l'aiuto.