Esercizio su relazioni asintotiche

[kotek]

Buon giorno a tutti,

la richiesta è come da titolo, ovvero "determinare una costante $A!=0$ e un esponente $alpha in RR$ in modo che la funzione sia asintoticamente equivalente ad $Ax^(alpha)$ per $x ->0$ "

La funzione è la seguente: $log(cos(x^4))$

Non saprei proprio come iniziare.

Qualche consiglio?

[ciampax]

Due cose per cominciare: il titolo dovrebbe essere "relazioni" e per scrivere la lettera greca alfa devi scrivere \alpha.
Per quanto riguarda l'esercizio, cosa vuol dire che $\log(\cos(x^4))$ è asintotico a $Ax^\alpha$ per definizione?

[kotek]

Che il limite del loro rapporto per $x -> c$ è $1$

[piero_1]

@kotek
applica la definizione di funzioni equivalenti e trovati i due parametri richiesti.

[tex]$
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 1\]$[/tex]

[kotek]

Il problema è che non riesco a trovarli

[ciampax]

Allora, tu vuoi determinare un valore di $A$ e $\alpha$ affinché

[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{\log(\cos(x^4))}{Ax^\alpha}=1$[/tex]

Per far ciò, devi usare il confronto locale: ricorda che per $t\to 0$ si ha

[tex]$\cos t\sim 1-\frac{t^2}{2},\qquad \log(1+t)\sim t$[/tex] (limiti notevoli)

ed otterrai quello che cerchi.

[kotek]

Ok grazie mille ciampax ho risolto!