Esercizio su massimi e minimi assoluti vincolati
Ciao a tutti,qualcuno può aiutarmi con questo esercizio? Sono riuscita a trovare i punti stazionari: P1(0,0)→ punto di sella ; P2 (0,-√2)→ punto di massimo relativo; P3 (0,√2)→punto di massimo relativo. Ho un problema nel trovare gli estremi vincolati:ho pensato di utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange,ma non sono sicura del procedimento.
Classificare gli eventuali punti critici della seguente funzione:
f(x, y) = (3 − x^2 − y^2)e^(y^2);
Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f nel cerchio con centro nell’ origine e
raggio 2.
Grazie
Classificare gli eventuali punti critici della seguente funzione:
f(x, y) = (3 − x^2 − y^2)e^(y^2);
Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f nel cerchio con centro nell’ origine e
raggio 2.
Grazie
Risposte
Ciao Benvenuta sul forum
come da regolamento dovresti postare un tuo tentativo.
Per quale esame ti stai preparando?
come da regolamento dovresti postare un tuo tentativo.
Per quale esame ti stai preparando?
Sto studiando Analisi 2!Allora io ho iniziato a scrivere il vincolo g(x):
x^2+y^2=4
e la funzione lagrangiana :
L(x,y,λ)= (3-x^2-y^2)e^(y^2)-λ(x^2+y^2-4)
Poi ho impostato un sistema imponendo che la derivata parziale rispetto ad x della funzione lagrangiana sia uguale a zero,e così analogamente quella rispetto ad y e quella rispetto a λ.Il problema è che non so se il procedimento è giusto,cioè se per la mia funzione và bene calcolare i massimi e i minimi assoluti in questo modo o se c'è un altro procedimento più corretto!Inoltre,mi sono un po' confusa con i calcoli!
x^2+y^2=4
e la funzione lagrangiana :
L(x,y,λ)= (3-x^2-y^2)e^(y^2)-λ(x^2+y^2-4)
Poi ho impostato un sistema imponendo che la derivata parziale rispetto ad x della funzione lagrangiana sia uguale a zero,e così analogamente quella rispetto ad y e quella rispetto a λ.Il problema è che non so se il procedimento è giusto,cioè se per la mia funzione và bene calcolare i massimi e i minimi assoluti in questo modo o se c'è un altro procedimento più corretto!Inoltre,mi sono un po' confusa con i calcoli!
posta pure i tuoi calcoli
racchiudi le formule nel segno del $ (all'inizio e alla fine) così saranno più leggibili
racchiudi le formule nel segno del $ (all'inizio e alla fine) così saranno più leggibili
@maryenn
se vuoi un consiglio ,in generale cerca di usare il meno possibile il metodo di Lagrange
l'esercizio si risolve facilmente parametrizzando la circonferenza con le coordinate polari
se vuoi un consiglio ,in generale cerca di usare il meno possibile il metodo di Lagrange
l'esercizio si risolve facilmente parametrizzando la circonferenza con le coordinate polari
"stormy":
@maryenn
se vuoi un consiglio ,in generale cerca di usare il meno possibile il metodo di Lagrange
l'esercizio si risolve facilmente parametrizzando la circonferenza con le coordinate polari
È quello che stavo pensando anche io. Cerchi i minimi sul cerchio aperto e poi li cerchi sulla circonferenza parametrizzando. Tra l'altro c'è un bellissimo \(\displaystyle x^2 + y^2 \) nel testo della funzione...
Grazie per il suggerimento!
Ho provato a parametrizzare,questi sono i miei calcoli:
$ x=2cost $
$ y=2sint $
con $ t ∈ [ 0,2π] $
A questo punto la mia funzione iniziale diventa una funzione della sola variabile t:
$ H(t)= (3-(2cost)^2-(2sint)^2)e^(4sin^2(t))
= -e^(4sin^2(t))
$
Ora calcolo la derivata prima:
$ H'(t) = -8e^(4sin^2(t)) cos(t)sin(t) $
la quale,si annulla quando $ cos(t)sin(t)=0 $
è giusto? Una volta arrivati qui,come calcolo gli estremi?
Ho provato a parametrizzare,questi sono i miei calcoli:
$ x=2cost $
$ y=2sint $
con $ t ∈ [ 0,2π] $
A questo punto la mia funzione iniziale diventa una funzione della sola variabile t:
$ H(t)= (3-(2cost)^2-(2sint)^2)e^(4sin^2(t))
= -e^(4sin^2(t))
$
Ora calcolo la derivata prima:
$ H'(t) = -8e^(4sin^2(t)) cos(t)sin(t) $
la quale,si annulla quando $ cos(t)sin(t)=0 $
è giusto? Una volta arrivati qui,come calcolo gli estremi?
a dire il vero,per la ricerca dei punti di massimo e minimo assoluto in questo caso non c'è neanche bisogno della derivata
è abbastanza evidente che i punti di massimo sono quelli nei quali il $sin^2 t=0$ ,quelli di minimo sono i punti in cui $sin^2t=1$
è abbastanza evidente che i punti di massimo sono quelli nei quali il $sin^2 t=0$ ,quelli di minimo sono i punti in cui $sin^2t=1$
Grazie,ma scusami forse mi sfugge qualcosa,potresti spiegarmi il motivo?
perchè la funzione $g(z)= -e^z$ è una funzione decrescente
Okok,ora ho capito ! Quindi,concludendo i miei punti di massimo assoluto saranno:
$ P1 (-2, 0) $
$ P2 (2 , 0) $
e i miei punti di minimo assoluto :
$ P3 (0 , -2) $
$ P4 (0 ,2 ) $
giusto? Un'altra cosa,l'esercizio in questo modo è concluso o dovrei considerare anche qualche altra cosa,tipo i punti di frontiera?
! Quindi,concludendo i miei punti di massimo assoluto saranno:$ P1 (-2, 0) $
$ P2 (2 , 0) $
e i miei punti di minimo assoluto :
$ P3 (0 , -2) $
$ P4 (0 ,2 ) $
giusto? Un'altra cosa,l'esercizio in questo modo è concluso o dovrei considerare anche qualche altra cosa,tipo i punti di frontiera?
calcola quanto valgono il massimo ed il minimo assoluto sulla frontiera(che è proprio la circonferenza) e confronta questi valori con il valore che la funzione assume nel punto di minimo relativo e di massimo relativo all'interno del cerchio
in questo modo potrai trovare il massimo e minimo assoluto sull'intero cerchio
in questo modo potrai trovare il massimo e minimo assoluto sull'intero cerchio
Come posso calcolare il massimo e il minimo assoluto sulla circonferenza?
ovviamente mettendo nella funzione le coordinate dei punti di minimo e massimo assoluto sulla circonferenza
la funzione sulla circonferenza ammette massimo assoluto in $(-2,0)$ e $(2,0)$ assumendo valore $-1$,e minimo assoluto in $(0,-2)$ e $(0,2)$ assumendo valore $-e^4$
adesso calcola quanto vale la funzione nei punti di massimo e minimo relativo all'interno del cerchio e trai le conclusioni
la funzione sulla circonferenza ammette massimo assoluto in $(-2,0)$ e $(2,0)$ assumendo valore $-1$,e minimo assoluto in $(0,-2)$ e $(0,2)$ assumendo valore $-e^4$
adesso calcola quanto vale la funzione nei punti di massimo e minimo relativo all'interno del cerchio e trai le conclusioni
Quindi,metto nella funzione $ f(x,y)= (3-x^2-y^2)e^(y^2) $ le coordinate del punto di massimo relativo $ P(0, -sqrt2)$ ,e ottengo che la funzione in questo punto assume il valore $ e^2 $; e analogamente metto nella funzione le coordinate dell'altro punto di massimo relativo $ Q( O, sqrt2) $, ottenendo il medesimo valore $ e^2 $. Quindi,poichè $ e^2 > -1$ ,si può concludere che i punti $ P (0,-sqrt2) $ e $Q(0, sqrt2) $ sono di massimo assoluto; mentre i punti $ P3(0,-2)$ e $ P4(0,2) $sono i punti di minimo assoluto. Giusto? Ovviamente non devo fare alcun confronto con i punti di sella?!
giusto
ce l'abbiamo fatta
ce l'abbiamo fatta
Grazie mille! Sei stato gentilissimo!
Sei stato gentilissimo!
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