Esercizio su integrazione secondo Lebesgue

[Alino1]

Ciao a tutti! Mi sono trovato di fronte a questo esercizio che mi ha lasciato perplesso, non so proprio da dove iniziare, qualcuno può aiutarmi?

Sia $f in L^1(0, +oo) nn C^1([0,+oo))$. Calcolare, giustificando la risposta, il limite

$lim_(n->oo)(int_{ln(n+1)}^{sqrt(n+5)} f(x) dx)$

[gugo82]

Che vuol dire (ed è l'unica cosa che ti serve) che $f in L^1$?
Di che proprietà gode l'integrale?

[Alino1]

Significa che la funzione è integrabile secondo Lebesgue nell'intervallo $(0,+oo)$ cioè quell'integrale è finito dato che l'intervallo su cui integro è contenuto in quello su cui ho integrabilità. Però come posso ragionare?

[gugo82]

E quando una funzione è integrabile à la Lebesgue e continua, l'integrale di Lebesgue coincide con l'integrale...

Oppure, quali teoremi conosci sull'integrale di Lebesgue?


P.S.: Tanto per curiosità, dove studi?

[Alino1]

Non ti seguo scusami, ti spiego la mia situazione: ho iniziato a vedere gli appunti del corso alternandoli ad esercizi e per ora mi sono concentrato sulle convergenze di successioni di funzioni e passaggio al limite sotto il segno di integrale (Teoremi di Beppo Levi, Teorema della convergenza dominata di Lebesgue, Lemma di Fatou...). Ho incontrato questo e non so se posso ricondurmi a qualcosa che so oppure servono dei teoremi sugli spazi $L^p$ che devo ancora vedere!

[gugo82]

In verità non ti serve quasi nulla di tutto ciò... Ma sì, dai, ammazziamo mosche coi cannoni, una volta tanto!

Ti do una traccia e lascio a te sviluppare il ragionamento.

[list=1]
[*:onj6g1el] Chiama $a_n$ e $b_n$ le successioni degli estremi superiori ed inferiori dei tuoi integrali e calcolane il limite;

[/*:m:onj6g1el]
[*:onj6g1el] nota che la tua successione di integrali coincide con:
\[
\int_0^{+\infty} f(x)\ \chi_{I_n} (x)\ \text{d} x
\]
in cui $I_n:=(a_n, b_n)$ e $chi$ denota una funzione caratteristica;

[/*:m:onj6g1el]
[*:onj6g1el] prova che la successione di funzioni di termine generale $f_n:=f chi_(I_n)$ soddisfa le ipotesi del teorema di convergenza dominata e passa al limite sotto integrale;

[/*:m:onj6g1el]
[*:onj6g1el] calcola il limite puntuale della successione $(f_n)$ sfruttando quanto hai trovato per $(a_n)$ e $(b_n)$ all'inizio;

[/*:m:onj6g1el]
[*:onj6g1el] determina l'integrale della funzione limite e termina l'esercizio.[/*:m:onj6g1el][/list:o:onj6g1el]

Una volta che hai capito il ragionamento (scrivi il procedimento qui, se vuoi conferma), ti mostro come risolvere il problema in due parole senza usare il teorema di Lebesgue.

[Alino1]

Fantastico! Fino al punto 3 ci sono, dovrei però ragionare sugli altri due e capire come andare avanti! Spero di darti una risposta a breve! Grazie mille per l'aiuto

Studio a Pavia comunque!

[Alino1]

Eccomi! Allora detto molto brutalmente ho che la funzione limite è la funzione nulla perché se fisso un $x in [0,+oo)$ per un certo $\bar n in NN$ avrò $f_n(x)=0, AAn>=\bar n$ dato che l'intervallo su cui $f_n$ è non nulla si sposta all'infinito per via delle due successioni che sto considerando. Perciò concludo subito il punto 5.

Non sono del tutto convinto che sia il ragionamento corretto, inoltre non ho usato la proprietà che la funzione sia di classe $C^1$ (anche se non per forza deve servire) oppure l'ho usata senza accorgermene? Aspetto una risposta