Esercizio su i numeri reali !

[galles90]

Buonasera amici,

ho il seguente esercizio, vi chiedo se lo svolto in modo corretto oppure c'è bisogno di qualche accorgimento.

Provare che se \(\displaystyle A \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \), allora \(\displaystyle \forall n\in \mathbb{N} \) l'insieme \(\displaystyle A\cap ]0,1[\), contiene almeno \(\displaystyle n \) punti.

Soluzione:

Verifico prima che l'insieme \(\displaystyle A\cap]0,1[\) è denso.

Se \(\displaystyle A\subseteq\mathbb{R} \) è denso si verifica che

\(\displaystyle \forall x_0 \in\mathbb{R} \), \(\displaystyle \forall r>0 \), \(\displaystyle \exists a \in B_r(x_0) \)

di conseguenza si verifica

\(\displaystyle \exists ! a : A\cap]0,1[\).

Per definizione di insieme denso, l'insieme denso \(\displaystyle A\cap]0,1[\) contiene \(\displaystyle n\ge 1 \) elementi.

Grazie.

[killing_buddha]

Mi sembra ci siano molti modi di dimostrare questo fatto.

Uno è per bisezione: se $A$ è denso in $\mathbb R$, interseca ogni aperto di $\mathbb R$; $]0,1[$ è un aperto, quindi esite $a\in A \cap ]0,1[$. A questo punto è chiaro che $0

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[dissonance]

"galles90":Buonasera amici,

ho il seguente esercizio, vi chiedo se lo svolto in modo corretto oppure c'è bisogno di qualche accorgimento.

L'unico accorgimento possibile è cancellare tutto e rifare daccapo, ragionando sui suggerimenti di killing_buddha.

Provare che se \(\displaystyle A \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \), allora \(\displaystyle \forall n\in \mathbb{N} \) l'insieme \(\displaystyle A\cap ]0,1[\), contiene almeno \(\displaystyle n \) punti.

Soluzione:

Verifico prima che l'insieme \(\displaystyle A\cap]0,1[\) è denso.

Se \(\displaystyle A\subseteq\mathbb{R} \) è denso si verifica che

\(\displaystyle \forall x_0 \in\mathbb{R} \), \(\displaystyle \forall r>0 \), \(\displaystyle \exists a \in B_r(x_0) \)

di conseguenza si verifica

\(\displaystyle \exists ! a : A\cap]0,1[\).

Per definizione di insieme denso, l'insieme denso \(\displaystyle A\cap]0,1[\) contiene \(\displaystyle n\ge 1 \) elementi.

Non hai fatto nulla, sono solo passaggi senza capo né coda. Neanche la definizione di insieme denso hai riportato correttamente.

se lo svolto in modo corretto

[galles90]

Scusami, allora quale sarebbe la giusta definizione?
Io l'ho ritrovata su internet

Ciao

[killing_buddha]

"galles90":Scusami, allora quale sarebbe la giusta definizione?
Io l'ho ritrovata su internet

Ciao

La definizione di denso te l'ho data io.