Esercizio su i limiti
Buonasera amici, ho un esercizio su i limiti dove bisogna dimostrare che, dove ho delle incertezze su come impostare l'esercizio, comunque riporto un mio tentativo, cosi faccio notare dove sono punti che sbaglio:
\(\displaystyle lim_{x\to x_0}f(x)=0 \) se e soltanto se \(\displaystyle lim_{x \to x_0}|f(x)|=0 \).
Penso di risolverlo in questo modo,
Supponiamo che \(\displaystyle lim_{x \to x_0}|f(x)|=0 \) per la definizione di limite si ha che per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \) esiste un \(\displaystyle \delta>0 \) tale che per ogni \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta \) si ha \(\displaystyle ||f(x)|-l|<\epsilon \) , per definizione di valore assoluto \(\displaystyle l-\epsilon<|f(x)|
Questa è solo una parte della dim. c'è il viceversa ancora da verificare, vorrei vedere prima questi passaggi sono.
ciao
\(\displaystyle lim_{x\to x_0}f(x)=0 \) se e soltanto se \(\displaystyle lim_{x \to x_0}|f(x)|=0 \).
Penso di risolverlo in questo modo,
Supponiamo che \(\displaystyle lim_{x \to x_0}|f(x)|=0 \) per la definizione di limite si ha che per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \) esiste un \(\displaystyle \delta>0 \) tale che per ogni \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta \) si ha \(\displaystyle ||f(x)|-l|<\epsilon \) , per definizione di valore assoluto \(\displaystyle l-\epsilon<|f(x)|
Questa è solo una parte della dim. c'è il viceversa ancora da verificare, vorrei vedere prima questi passaggi sono.
ciao
Risposte
Qual e' il dominio di $f$? Qual e' il codominio di $f$?
Ricorda due cose: la funzione \(|-|\colon \mathbb R\to \mathbb R\) e' continua, e il limite e' una funzione monotona (e $f(x)\le |f(x)|$ per ogni $x$...).
Ricorda due cose: la funzione \(|-|\colon \mathbb R\to \mathbb R\) e' continua, e il limite e' una funzione monotona (e $f(x)\le |f(x)|$ per ogni $x$...).
Ciao,
il \(\displaystyle dom_f = \mathbb{R} \) e il \(\displaystyle cod_f= \mathbb{R} \).
Cosa vuoi dire con quello che mi hai fatto osservare ?
L'ha interpreto cosi la tua osservazione:
essendo continua, il limite di \(\displaystyle f \) è uguale \(\displaystyle |f(x_0)| \) , quindi \(\displaystyle f(x_0)=|f(x_0)| \).
Non lo so avrò detto una cavolata...
il \(\displaystyle dom_f = \mathbb{R} \) e il \(\displaystyle cod_f= \mathbb{R} \).
Cosa vuoi dire con quello che mi hai fatto osservare ?
L'ha interpreto cosi la tua osservazione:
essendo continua, il limite di \(\displaystyle f \) è uguale \(\displaystyle |f(x_0)| \) , quindi \(\displaystyle f(x_0)=|f(x_0)| \).
Non lo so avrò detto una cavolata...
Buongiorno,
quando ho postato il seguente esercizio, il mio intendo era di poter capire l'esempio **, dove, sostanzialmente bisogna applicare il teorema del confronto e tener presente l'esercizio che ho postato.
L'esempio in questione è
** Se \(\displaystyle f(x) \to 0 \) per \(\displaystyle x\to x_0 \) , e \(\displaystyle g(x) \) è una funzione limitata, allora
\(\displaystyle lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=0 \)
Se \(\displaystyle g(x)\le M \) , si ha \(\displaystyle 0 \le|f(x)g(x)|\le M|f(x)| \)
Adesso per il teorema del confronto devo trovare due funzioni, che approssimano la quantità \(\displaystyle |f(x)g(x)| \) , allora una è \(\displaystyle h(x) \) e l'altra già ce l'ho che è \(\displaystyle f(x) \) che soddisfano la seguente proprietà :
Tenendo presente che \(\displaystyle lim_{x\to x_0}|f(x)|=0 \), se e solo se \(\displaystyle lim_{x\to x_0}f(x)=0 \), allora si ha che il \(\displaystyle lim_{x\to x_0} h(x)=lim_{x\to x_0}f(x)=0 \).
Dovrebbe risultare se non erro !!!
\(\displaystyle 0\le |f(x)g(x)|\le 0 \)
quando ho postato il seguente esercizio, il mio intendo era di poter capire l'esempio **, dove, sostanzialmente bisogna applicare il teorema del confronto e tener presente l'esercizio che ho postato.
L'esempio in questione è
** Se \(\displaystyle f(x) \to 0 \) per \(\displaystyle x\to x_0 \) , e \(\displaystyle g(x) \) è una funzione limitata, allora
\(\displaystyle lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=0 \)
Se \(\displaystyle g(x)\le M \) , si ha \(\displaystyle 0 \le|f(x)g(x)|\le M|f(x)| \)
Adesso per il teorema del confronto devo trovare due funzioni, che approssimano la quantità \(\displaystyle |f(x)g(x)| \) , allora una è \(\displaystyle h(x) \) e l'altra già ce l'ho che è \(\displaystyle f(x) \) che soddisfano la seguente proprietà :
Tenendo presente che \(\displaystyle lim_{x\to x_0}|f(x)|=0 \), se e solo se \(\displaystyle lim_{x\to x_0}f(x)=0 \), allora si ha che il \(\displaystyle lim_{x\to x_0} h(x)=lim_{x\to x_0}f(x)=0 \).
Dovrebbe risultare se non erro !!!
\(\displaystyle 0\le |f(x)g(x)|\le 0 \)
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