Esercizio su convergenza puntuale e totale

[nandacorewa]

Salve, vorrei chiedervi un aiuto per verificare la correttezza del seguente esercizio:

Determinare l'intervallo di convergenza puntuale e studiare la convergenza totale della serie di funzioni:
$ sum_(n =1) ^(+oo) (n+3)^(1/2)/(3^n+2n^2)*(x^2-2)^n $

Dopo aver posto $ y=x^2-2 $ posso applicare la teoria della serie di potenze, e dunque l'intervallo di convergenza il quale risulta essere: $ AA x in (-5^(1/2),5^(1/2)) $

La serie poi non converge sugli estremi, in quanto si otterrebbe una serie che non rispetta la condizione necessaria per la convergenza.

Per la convergenza totale devo riuscire a determinare una successione, a termini a positivi, in grado di maggiorare il modulo della successione di funzioni, cioè:

$ |f_n(x)|=(n+3)^(1/2)/(3^n+2n^2)*(x^2-2)^n<=(n+3)^(1/2)/(3^n+2n^2)*(alpha ^2-2)^n=M_n AA x,alpha in (-5^(1/2),5^(1/2)):x<=alpha $

In particolare, sapreste dirmi se è corretto indicare i valori della convergenza totale in questo modo?
Grazie in anticipo.

[dissonance]

Se hai studiato le serie di potenze, puoi usare quella teoria pure per la convergenza totale. Tutte le serie di potenze convergono totalmente sui sottointervalli compatti contenuti nell'intervallo di convergenza.