Esercizio Serie Numeriche
Ho un problema con un esercizio d'esame.
Dire per quali $ alpha in R $ la seguente serie numerica converge semplicemente e per quali $ alpha in R $ converge assolutamente.
$ sum_(k =1)^∞(-1)^karctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
Allora per prima cosa studio la convergenza semplice, e poichè la serie è a segno alterno, uso il criterio di Leibniz, quindi posta :
$ b= arctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
devo verificare che tale successione è un'infinitesima e che è decrescente. Parto dal primo punto, ovvero se è un'infinitesima o meno.
$ lim_(k -> 0) arctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
questo limite è 0 se e solo se $alpha < 0$ giusto? e per la decrescenza come la verifico?
Dire per quali $ alpha in R $ la seguente serie numerica converge semplicemente e per quali $ alpha in R $ converge assolutamente.
$ sum_(k =1)^∞(-1)^karctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
Allora per prima cosa studio la convergenza semplice, e poichè la serie è a segno alterno, uso il criterio di Leibniz, quindi posta :
$ b= arctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
devo verificare che tale successione è un'infinitesima e che è decrescente. Parto dal primo punto, ovvero se è un'infinitesima o meno.
$ lim_(k -> 0) arctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
questo limite è 0 se e solo se $alpha < 0$ giusto? e per la decrescenza come la verifico?
Risposte
nessuno? ..
Provo ad indicarti l'imbocco d'una via che,ad occhio,dovrebbe darti uno spunto per cavartela velocemente;
nel farlo direi come mi par vero che la successione è a termini di segno alterno per $alpha<0$
(e quanto dici sulla negatività di tale parametro come condizione equivalente a quella necessaria per la convergenza..):
ma "solo" definitivamente..
Perchè?
Saluti dal web.
nel farlo direi come mi par vero che la successione è a termini di segno alterno per $alpha<0$
(e quanto dici sulla negatività di tale parametro come condizione equivalente a quella necessaria per la convergenza..):
ma "solo" definitivamente..
Perchè?
Saluti dal web.
Fin li ci sono, che se $alpha <0$ la serie è a segno alterno, solo che poi non so che strada imboccare..
Ad evitare equivoci mi ripeto:
perché la serie assegnata,$AA$ $alpha<0$,è(definitivamente)a termini di segno alterno?
Ne vorrei una dimostrazione "rigorosa",dalla quale partire per discutere del tuo esercizio:
saluti dal web.
perché la serie assegnata,$AA$ $alpha<0$,è(definitivamente)a termini di segno alterno?
Ne vorrei una dimostrazione "rigorosa",dalla quale partire per discutere del tuo esercizio:
saluti dal web.
Non capisco in che senso solo definitivamente..
E' noto come la generica serie numerica $sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n a_n$ è detta(definitivamente)a termini di segno alterno allora e solo quando $a_n>0$ $AA n in NN$($EE k in NN$ $t.c.$ $a_n>0$ $AA n in NN setminus {1,..,k}$):
perchè quella da te esaminata rientra certamente,$AA alpha in (-oo,0)$,in una di tali categorie?
Saluti dal web.
perchè quella da te esaminata rientra certamente,$AA alpha in (-oo,0)$,in una di tali categorie?
Saluti dal web.
Io ci sono arrivata solo con la condizione necessaria a quel risultato..poi non so proprio da dove iniziare
Facciamo così,allora:
che mi sai dire,al variare di $alpha$ in $(-oo,0)$,del limite del rapporto tra i due addendi dell'argomento dell'arcotangente presente in quel termine generale?
Cosa comporta ciò,in merito al confronto tra quel rapporto ed $1$?
E com'è utilizzabile questo fatto ai tuoi fini(ossia dimostrare la definitiva positività di $|a_n|$),
anche tenuto conto dell'andamento della funzione con legge di definizione $f(x)="arctg"x$?
Saluti dal web.
che mi sai dire,al variare di $alpha$ in $(-oo,0)$,del limite del rapporto tra i due addendi dell'argomento dell'arcotangente presente in quel termine generale?
Cosa comporta ciò,in merito al confronto tra quel rapporto ed $1$?
E com'è utilizzabile questo fatto ai tuoi fini(ossia dimostrare la definitiva positività di $|a_n|$),
anche tenuto conto dell'andamento della funzione con legge di definizione $f(x)="arctg"x$?
Saluti dal web.
Non ho capito ben capito quello che intendi, sono sicuramente io che magari non riesco ad arrivare dove vuoi portarmi..
comunque quel limite per gli $alpha$ negativi tende sicuramente a 0
comunque quel limite per gli $alpha$ negativi tende sicuramente a 0
Giustissimo 
!
Ed è pur vero che $0<1$:
cosa permette allora di dedurre il teorema della permanenza del segno generalizzato per le successioni numeriche?
Scusa per lo "stillicidio",ma mi pare di poter ritenere come sia proprio quel che ti serve,
e che al termine di quest'ultimo,se ci arriveremo sani
,ne uscirai globalmente rafforzata sull'argomento:
saluti dal web.
!Ed è pur vero che $0<1$:
cosa permette allora di dedurre il teorema della permanenza del segno generalizzato per le successioni numeriche?
Scusa per lo "stillicidio",ma mi pare di poter ritenere come sia proprio quel che ti serve,
e che al termine di quest'ultimo,se ci arriveremo sani
,ne uscirai globalmente rafforzata sull'argomento:saluti dal web.
Sì, soprattutto grazie mille per la pazienza e per il grande aiuto 
Comunque, poichè il limite in questo caso è $>=0$ allora la successione è definitivamente positiva..
Comunque, poichè il limite in questo caso è $>=0$ allora la successione è definitivamente positiva..
Scusate, ma avete corso troppo per le mie possibilità... 
Secondo una mia analisi, è vero che la serie converge assolutamente per $\alpha$<0 perchè il limite della sua successione, al tendere di n a infinito, è zero. Per il resto (ad es. la convergenza semplice) come procedetereste?
Un saluto da un dilettante.
Secondo una mia analisi, è vero che la serie converge assolutamente per $\alpha$<0 perchè il limite della sua successione, al tendere di n a infinito, è zero. Per il resto (ad es. la convergenza semplice) come procedetereste?
Un saluto da un dilettante.
Per la convergenza semplice io avevo pensato di usare il criterio di Leibniz, ma non sono sicura mi sono impicciata troppo con i calcoli su questa serie..
Prova allora a calcolare,usando opportunamente un limite notevole ed il teorema ponte tra limiti di successioni e funzioni,il $lim_(n to oo)(a_(n+1))/(a_n)$ :
saluti dal web.
:saluti dal web.
Allora prima studio l'assoluta convergenza? in modo che se verifico che la serie converge assolutamente ne segue che, la serie converge.
Quindi per gli $alpha<0$ mi rimane la serie di:
$ sum_(k = 1) ^∞ arctg(e^(alphak)-1/sqrt(k)) $
ed a questa applico il criterio del rapporto?
mi verrebbe questo limite:
$ lim_(k -> ∞) (arctg(e^(alpha(k+1))-1/(sqrt(k+1))))/(arctg(alphak-1/sqrt(k)) $
Quindi per gli $alpha<0$ mi rimane la serie di:
$ sum_(k = 1) ^∞ arctg(e^(alphak)-1/sqrt(k)) $
ed a questa applico il criterio del rapporto?
mi verrebbe questo limite:
$ lim_(k -> ∞) (arctg(e^(alpha(k+1))-1/(sqrt(k+1))))/(arctg(alphak-1/sqrt(k)) $
Il punto è che,per qualunque valore di $alpha in RR$,di convergenza assoluta non se ne parla:
per alcun $alpha ge 0$ è infatti rispettata la condizione necessaria per la convergenza d'una serie numerica
(sono due limiti "comodi" da determinare a fartelo capire ),
mentre nel caso $alpha>0$ lo capisci,utilizzando il noto risultato $EE lim_(t to 0)("arctg"t)/t=1$ ed il citato "teorema ponte",
una volta dedotto per confronto asintotico che il valore assoluto del termine generale della serie assegnata è,definitivamente,
maggiorante della serie armonica generalizzata d'ordine $1/2$
(a meno d'un coefficiente moltiplicativo a tuo piacere)..
Ciò detto,e non è poco ,il limite fa te richiamato è,ovviamente solo per $alpha<0$,
opportuno da studiare
(per ragioni diverse da quelle che hai citato..):
a me sembra che,con l'ausilio dell'uguaglianza al limite testè citata,salti fuori che,$AA alpha <0$,
esso converge ad un numero reale diverso da $1$..
Saluti dal web.
per alcun $alpha ge 0$ è infatti rispettata la condizione necessaria per la convergenza d'una serie numerica
(sono due limiti "comodi" da determinare a fartelo capire
),mentre nel caso $alpha>0$ lo capisci,utilizzando il noto risultato $EE lim_(t to 0)("arctg"t)/t=1$ ed il citato "teorema ponte",
una volta dedotto per confronto asintotico che il valore assoluto del termine generale della serie assegnata è,definitivamente,
maggiorante della serie armonica generalizzata d'ordine $1/2$
(a meno d'un coefficiente moltiplicativo a tuo piacere)..
Ciò detto,e non è poco
,il limite fa te richiamato è,ovviamente solo per $alpha<0$,opportuno da studiare
(per ragioni diverse da quelle che hai citato..):
a me sembra che,con l'ausilio dell'uguaglianza al limite testè citata,salti fuori che,$AA alpha <0$,
esso converge ad un numero reale diverso da $1$..
Saluti dal web.
Nel caso $alpha <0$ volevi dire?..Mmm ok, allora da quel che ho capito per gli $alpha$ negativi la serie converge sempre?
Comunque, per studiare la convergenza semplice devo usare Leibniz, o no?
Comunque, per studiare la convergenza semplice devo usare Leibniz, o no?
Si,scusami,chiaramente è un mio refuso;
dopodiché é chiaro come,ormai assodato che non c'é convergenza assoluta della tua serie per alcun valore di $alpha$,
per i valori negativi del tuo parametro avrai convergenza semplice se il limite del rapporto tra un qualunque termine di ${|a_n|}_(n in NN)$ e quello che lo precede è,in corrispondenza di ciascuno tra tali valori di $alpha$,un numero reale appartenente a $(0,1)$,
e avrai oscillanza se esso diverge o converge ad un elemento di $(1,+oo)$:
in ambo i casi la risposta troverebbe giustificazione nell'edizione "completa" del criterio di Liebnitz,da te giustamente attenzionato come utile ai tuoi fini .
Saluti dal web.
dopodiché é chiaro come,ormai assodato che non c'é convergenza assoluta della tua serie per alcun valore di $alpha$,
per i valori negativi del tuo parametro avrai convergenza semplice se il limite del rapporto tra un qualunque termine di ${|a_n|}_(n in NN)$ e quello che lo precede è,in corrispondenza di ciascuno tra tali valori di $alpha$,un numero reale appartenente a $(0,1)$,
e avrai oscillanza se esso diverge o converge ad un elemento di $(1,+oo)$:
in ambo i casi la risposta troverebbe giustificazione nell'edizione "completa" del criterio di Liebnitz,da te giustamente attenzionato come utile ai tuoi fini
.Saluti dal web.
Mmmm ok forse penso di averci capito qualcosa in più, stasera me la rifaccio bene e vedo di scriverla tutta, controllando passaggio per passaggio, comunque grazie mille per l'aiuto c:
Allora, riprendendo dall'inizio, ho la mia serie:
$ sum_(k = 1)^∞(-1)^karctan(e^(alphak)-1/sqrt(k)) $
Prima cosa noto che è una serie a segno alterno, tuttavia la condizione necessaria per la convergenza di una serie, è soddisfatta solamente per $alpha in (-∞,0)$. Inizio comunque studiando la convergenza assoluta poiché, se la serie converge assolutamente allora convergerà. E quindi ho:
$ sum_(k = 1)^∞|arctan(e^(alphak)-1/sqrt(k))| $
ora essendo questa una serie a termini positivi posso applicare uno dei criteri di convergenza, in questo caso applico quello del rapporto..facendo il limite a me esce che converge assolutamente per ogni $alpha in (-∞,0)$.
Diversamente da come avevi detto tu, dove sbaglio?
$ sum_(k = 1)^∞(-1)^karctan(e^(alphak)-1/sqrt(k)) $
Prima cosa noto che è una serie a segno alterno, tuttavia la condizione necessaria per la convergenza di una serie, è soddisfatta solamente per $alpha in (-∞,0)$. Inizio comunque studiando la convergenza assoluta poiché, se la serie converge assolutamente allora convergerà. E quindi ho:
$ sum_(k = 1)^∞|arctan(e^(alphak)-1/sqrt(k))| $
ora essendo questa una serie a termini positivi posso applicare uno dei criteri di convergenza, in questo caso applico quello del rapporto..facendo il limite a me esce che converge assolutamente per ogni $alpha in (-∞,0)$.
Diversamente da come avevi detto tu, dove sbaglio?
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