Esercizio Serie Numeriche
Ho un problema con un esercizio d'esame.
Dire per quali $ alpha in R $ la seguente serie numerica converge semplicemente e per quali $ alpha in R $ converge assolutamente.
$ sum_(k =1)^∞(-1)^karctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
Allora per prima cosa studio la convergenza semplice, e poichè la serie è a segno alterno, uso il criterio di Leibniz, quindi posta :
$ b= arctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
devo verificare che tale successione è un'infinitesima e che è decrescente. Parto dal primo punto, ovvero se è un'infinitesima o meno.
$ lim_(k -> 0) arctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
questo limite è 0 se e solo se $alpha < 0$ giusto? e per la decrescenza come la verifico?
Dire per quali $ alpha in R $ la seguente serie numerica converge semplicemente e per quali $ alpha in R $ converge assolutamente.
$ sum_(k =1)^∞(-1)^karctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
Allora per prima cosa studio la convergenza semplice, e poichè la serie è a segno alterno, uso il criterio di Leibniz, quindi posta :
$ b= arctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
devo verificare che tale successione è un'infinitesima e che è decrescente. Parto dal primo punto, ovvero se è un'infinitesima o meno.
$ lim_(k -> 0) arctan(e^(alphak)-1/(k)^(1/2)) $
questo limite è 0 se e solo se $alpha < 0$ giusto? e per la decrescenza come la verifico?
Risposte
Puoi postare le tue considerazioni in merito al comportamento al limite in questione?
Ora che m'hai costretto a guardarlo meglio mi pare che,a meno di miei e/orrori,per tutti i valori negativi del tuo parametro esso converga ad $1$ :
questo inficierebbe la bontà della tua ultima conclusione,ma ti costringerebbe ad uno studio della monotonia di ${|a_n|}_(n in NN)$ diverso da quello che,a questo punto erroneamente,m'era sembrato giusto e "comodo"
(mi pare di poter comunque dire come ne ho scovato uno che può esser utile ai nostri fini,
e nel caso lo posto).
Saluti dal web.
Ora che m'hai costretto a guardarlo meglio mi pare che,a meno di miei e/orrori,per tutti i valori negativi del tuo parametro esso converga ad $1$ :
questo inficierebbe la bontà della tua ultima conclusione,ma ti costringerebbe ad uno studio della monotonia di ${|a_n|}_(n in NN)$ diverso da quello che,a questo punto erroneamente,m'era sembrato giusto e "comodo"
(mi pare di poter comunque dire come ne ho scovato uno che può esser utile ai nostri fini,
e nel caso lo posto).
Saluti dal web.
Ho riprovato a risvolgere il limite e mi viene nuovamente 1, stasera con calma scrivo lo svolgimento così lo puoi vedere.. comunque nel caso il limite facesse 1..non posso applicare il criterio..
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