Esercizio serie di Fourier

[darinter]

Sia $x(t)=sum_(-oo)^(+oo)(1/2)^|n| e^(jn πt)$ dove $t in R$,calcolare $|x(t)|$ e $||x(t)||^2$.
Per risolverlo ho pensato di fare così:vado a vedere se la serie converge assolutamente,il che significa che dovrei studiare la convergenza di tale serie:$sum_(-oo)^(+oo)(1/2)^|n|$ ora questa la posso considerare una serie geometrica?Perchè il fatto che $n$ vari da $-oo$ a $+oo$ mi mette un pò in difficoltà,forse è ininfluente,visto che comunque $n$ è in modulo?Comunque in tal caso se la posso considerare serie geometrica allora converge poichè la ragione è $<1$ e conosco anche la somma.Tale somma dovrebbe essere è il segnale $x(t)$,giusto?Da qui mi ricaverei il modulo e studierei la sommabilità del modulo al quadrato,per poi calcolarmi o secondo la definizione o tramite $sum_(-oo)^(+oo)|c_n|^2=1/T||x(t)||^2$ l'energia del segnale,nel caso in cui la serie converga nel senso dell'energia.

E' questo il ragionamento oppure ho sbagliato di parecchio?

[Cantaro86]

si è giusto il ragionamento, solo che la serie geometrica ha k che parte da 0...
in questo caso visto che si considera il modulo di n puoi spezzare la serie in 2 serie $sum_[k=-\infty]^[+infty]=sum_[k=-\infty]^[0]+sum_[k=0]^[+infty]-1=2sum_[k=0]^[+infty]-1$
ho tolto 1 perchè c'è k=0 in entrambe le serie...
dopodichè puoi sommare con la formula della serie geometrica

[darinter]

Ho fatto come tu hai detto e calcolato la somma della serie che è $2$.Ho però alcuni dubbi.$|x(t)|$ dovrebbe essere $2sum_[k=0]^[+infty]-1$, è giusto?Se si in tal caso $|x(t)|=3$.Ora se voglio andare ad usare la definizione per calcolare $||x(t)||^2$,che estremi d'integrazione devo prendere?

[darinter]

Nessuno può darmi una mano (scusate per l'up,ma sono passati più di tre giorni e ho l'esame a breve)
Grazie