Esercizio serie
Buonasera,
L'esercizio è di trovare i valori di $ alpha $ per i quali la serie converge
$ sum(1/k^alpha)sin (alpha /k) $ io l'ho svolto premettendo che la serie è definitivamente a termini positivi o negativi quindi si può studiare la convergenza semplice. Poi per il confronto asintotico ho sostituito $ sin (alpha /n) $ con $ (alpha /n) $ e il mio risultato è che la serie converge per alpha maggiore di 0. È giusto?
L'esercizio è di trovare i valori di $ alpha $ per i quali la serie converge
$ sum(1/k^alpha)sin (alpha /k) $ io l'ho svolto premettendo che la serie è definitivamente a termini positivi o negativi quindi si può studiare la convergenza semplice. Poi per il confronto asintotico ho sostituito $ sin (alpha /n) $ con $ (alpha /n) $ e il mio risultato è che la serie converge per alpha maggiore di 0. È giusto?
Risposte
mmm... per \(\alpha = 0\) cosa succede?
Converge... quello lo immaginavo che l'avevo sbagliato. L'errore è solo quello?
"wylde67":
io l'ho svolto premettendo che la serie è definitivamente a termini positivi o negativi quindi si può studiare la convergenza semplice
...?
Comunque, sono d'accordo che
\[\frac{1}{k^\alpha} \sin {\frac{\alpha}{k}} \sim \alpha \frac{1}{k^{\alpha + 1}} \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}\]
...ma poi dove avresti usato questo risultato?
"giuscri":
[quote="wylde67"]io l'ho svolto premettendo che la serie è definitivamente a termini positivi o negativi quindi si può studiare la convergenza semplice
...?
Comunque, sono d'accordo che
\[\frac{1}{k^\alpha} \sin {\frac{\alpha}{k}} \sim \alpha \frac{1}{k^{\alpha + 1}} \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}\]
...ma poi dove avresti usato questo risultato?[/quote]
Anche io sono arrivato al tuo risultato, quella che hai scritto non è la serie armonica generalizzata con esponente $ alpha +1 $ ? Che converge se $ alpha $ è maggiore di 0
"wylde67":
Anche io sono arrivato al tuo risultato, quella che hai scritto non è la serie armonica generalizzata con esponente $ alpha +1 $ ? Che converge se $ alpha $ è maggiore di 0
Hups... ero ubriaco, mi sa. Comunque si: hai ragione -almeno in generale.
Ma quel coefficiente \(\alpha\) ti toglie dal caso generale. Per \(\alpha \equiv 0\) qualsiasi somma parziale e' nulla.
Quindi, come dicevi fin dall'inizio, per avere convergenza: \(\alpha > 0\); ma anche uguale (come diceva Rigel, del resto
)
Ok perfetto grazie!!!
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